由f(x)的一個(gè)原函數(shù)是ln(1+x)知f(x)=1/(1+x),故
∫sinxf(cosx) dx
=∫sinx/(1+cosx)dx
=∫-1/(1+cosx)dcosx
=∫-1/(1+cosx)d(1+cosx)
=-ln(1+cosx)+cf(x)=1/(1+x)是怎么知道的假設(shè)x>0，如果我們要求自然對(duì)數(shù)lnx的導(dǎo)數(shù)，用定義，ln(x+h)-lnx=ln[(x+h)/x]=ln(1+h/x)=(h/x)ln(1+h/x)^(x/h)所以[ln(x+h)-lnx]/h=(1/x)ln(1+h/x)^(x/h)令h趨于0并取極限得(lnx)'=(1/x)ln[lim_{h趨于0}((1+h/x)^(x/h))]=(1/x)lne=1/x這里用到(1+a)的1/a次方當(dāng)a趨于0時(shí)為e，而e的自然對(duì)數(shù)lne=1.故1/x的一個(gè)原函數(shù)是lnx，所有的原函數(shù)是lnx+常數(shù)C。在上式中用1+x代替x，得到ln(1+x)的導(dǎo)數(shù)為1/(1+x)，故由f(x)的一個(gè)原函數(shù)是ln(1+x)知f(x)=1/(1+x)。一般最好記住一些常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這樣看見(jiàn)這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，才能知道原函數(shù)是什么。下面是一些基本的初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：y=f(x)=c (c為常數(shù)),則f'(x)=0f(x)=x^n(n不等于0) f'(x)=nx^(n-1)(x^n表示x的n次方)f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanxf'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotxf'(x)=- 1/sin^2 x導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則如下(f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/- g'(x)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2