假設(shè)A可對(duì)角化,不妨設(shè)P-1AP=diag(a,b,c).（1）（對(duì)角線上是a,b,c的對(duì)角矩陣）P可逆
（1）式兩邊平方：P-1A^2P=diag（a^2,b^2,c^2).（2）
（1）式兩邊三次方：P-1A^3P=diag（a^3,b^3,c^3).（3）
由（2）（3）式及A^2=A^3,所以a^2=a^3,b^2=b^3,c^2=c^3
所以a,b,c屬于集合｛0,1｝,所以a=a^2=a^3...
此時(shí)有diag(a,b,c)=diag（a^2,b^2,c^2)=diag（a^3,b^3,c^3),又A=P diag（a,b,c) P-1
A^2=P diag(a^2,b^2,c^2) P-1 則A=A^2矛盾!
所以A不可對(duì)角化

即證存在向量α使得Aα=0     即證A不可逆
反證法：假設(shè)A可逆,存在A的逆A  -1,那么在式子A^3=A^2中左乘A-1得到：A^2=A,矛盾

即證A-I不可逆（I是單位矩陣）
同樣反證法：假設(shè)A-I可逆,設(shè)其逆矩陣為(A-I)-1
那么由A^3-A^2=0,所以A^2(A-I)=0
上式兩邊同時(shí)右乘(A-I) -1：A^2=0
與題目條件0不等于A^3=A^2矛盾

例子：
010
000
001

題目應(yīng)該是求證任何2X2矩陣都不滿(mǎn)足條件0≠A^3=A^2≠A吧不然
01
00就是反例了
下面證明任何2X2矩陣都不滿(mǎn)足條件0≠A^3=A^2≠A
反證法：假設(shè)存在2X2矩陣都滿(mǎn)足條件0≠A^3=A^2≠A,同理：該矩陣不可對(duì)角化、0和1為特征值
上面兩句話(huà)本身是矛盾的因?yàn)?和1是兩個(gè)不同的特征值,這導(dǎo)致2X2矩陣可以被對(duì)角化
所以得
這個(gè)是一個(gè)矩陣能對(duì)角化的充分條件就是說(shuō)，一個(gè)矩陣的所有特征值都不等的時(shí)候它就可以對(duì)角化。比如我說(shuō)的那個(gè)，設(shè)A是2*2矩陣，α是1對(duì)應(yīng)的特征向量，β是0對(duì)應(yīng)的特征向量（α和β不等于0）那么就有Aα=α，Aβ=0即有A(α，β）=（α，β）D，這里D=:1 00 0那么α和β顯然線性無(wú)關(guān)，不然如果線性相關(guān)設(shè)α=kβ，那么Aα=A(kβ）=kAβ=k*0=0不等于α所以矩陣（α，β）可逆，設(shè)為P則AP=PD所以P-1AP=D