你的題目中有一個(gè)地方不太對(duì)吧!根號(hào)里面的是不是應(yīng)該是：√(X^2+kx+3);
是否存在實(shí)數(shù)K,使得關(guān)于X的不等式log4[√(X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2)<=1對(duì)于任意X屬于[1,2]恒成立?說(shuō)明理由.
因?yàn)?任意X屬于[1,2],
log4[√(X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2) 的范圍在：
log4[√(k+4)-1]+log3(k+3)≤log4[√(X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2)≤log4[√(2k+7)-1]+log3(2k+6) ,
取兩端,構(gòu)成關(guān)于k的不等式：
log4[√(k+4)-1]+log3(k+3)≤log4[√(2k+7)-1]+log3(2k+6),
用換底公式：以10為底：
{lg[√(k+4)-1]}/lg4+{lg(k+3)}/lg3≤{lg[√(2k+7)-1]}/lg4+{lg(2k+6)}/lg3,
因?yàn)?0<(lg4)(lg3)=2*0.3010*0.4771≈0.2872<1,
(lg3){lg[√(k+4)-1]}+(lg4){lg(k+3)}≤(lg3){lg[√(2k+7)-1]}+(lg4){lg(2k+6)},
(lg3){lg[√(2k+7)-1]- lg[√(k+4)-1]}+(lg4){lg(2k+6)- lg(k+3)}≥0,
(lg3){lg{[√(2k+7)-1]/[√(k+4)-1]}}+(lg4){lg[(2k+6)/(k+3)]}≥0,
(lg3){lg{[√(2k+7)-1]/[√(k+4)-1]}}≥(lg4){lg[(k+3)/(2k+6)]},
因?yàn)?lg4)/(lg3) ≈0.6021/0.4771≈ 1.262,
lg{[√(2k+7)-1]/[√(k+4)-1]}≥1.262 lg[(k+3)/(2k+6)]= lg[1/2]^ 1.262,
lg x 是增函數(shù),
[√(2k+7)-1]/[√(k+4)-1]≥[1/2]^ 1.262 =2^(-1.262),
分母有理化：
{[√(2k+7)-1][√(k+4)+1]/(k+3)}^(lg3)≥2^(-1.262),
因?yàn)?問(wèn)題是問(wèn) “是否存在實(shí)數(shù)K”,只要求出部分解、而不必求出所有的解集!
設(shè)K=-2,
左邊=[√3-1][√2+1]= √6+√3-√2-1≈2.449+1.732-1.414-1] =1.767,
右邊=2^(-1.262) ≈1/2^1.262≈1/2.398≈0.417,
左邊 > 右邊,成立.
故 回答：是存在實(shí)數(shù)K,K=-2,使得關(guān)于X的不等式log4[√(X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2)<=1對(duì)于任意X屬于[1,2]恒成立.
但K=-2只是其中一個(gè)解,并不是全部解集.
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按照這個(gè)思路,即不必求出全解集,只要求出部分適合的解,于是,還可以進(jìn)行如下討論：
要使不等式log4[√(x^2+kx+3)-1]+log3(x^2+kx+2)<=1成立,只要：
log4[√(X^2+kx+3)-1] <=1 和 log3(X^2+kx+2)<=1,
因?yàn)?log4(4)=1, log3(3)=1,
所以0<√(x^2+kx+3)-1<=4,且 0< x^2+kx+2<=3,
解前一個(gè)不等式：
1<√(x^2+kx+3)≤5,且 1即 x^2+kx+2>0, 且 x^2+kx-22≤0,
因?yàn)?1≤x≤2, 代入,得：k+3≤x^2+kx+2≤2k+6,且 k-21≤x^2+kx-22≤2k-18,
對(duì)比上面的不等式,得： k+3>0,或2k+6>0,且 k-21≤0,或2k-18≤0,
解得： k>-3,且 k≤21 或 k≤9,
取 -3解后一個(gè)不等式：
0< x^2+kx+2<=3,
因?yàn)?1≤x≤2, 代入,得： k+3≤x^2+kx+2≤2k+6,
兩端也應(yīng)該服從上述不等式： 0-3取 -3總結(jié)：-3取公共部分作為-3答：是存在實(shí)數(shù)k, -3【k=-2只是其中一個(gè)特解!】
這個(gè)題目有點(diǎn)攪人.