1° 周長一定的封閉曲線中,如果圍成的面積最大,則必為凸圖形．
若為該圖形凹,可任作一條與曲線凹進部分有兩個交點的直線,作該曲線在兩交點間一段弧的對稱曲線,則可得一個與之等周且面積更大的圖形．
2° 周長一定的面積最大的封閉曲線中,如果點A、B平分其周長,則弦AB平分其面積．
若AB不平分其面積,則該圖形必有在AB某一側面積較大,如圖,不妨設N>M,則去掉M作N的關于AB的對稱圖形N’,則由N、N’組成的圖形周長與原來的相等,但面積更大．
3°對于既平分周長與又平分面積的弦AB,只考慮該圖形在AB的任一側的一半,若C為此段弧上任一點,則∠ACB=90°．否則連AC、BC可把此圖形劃分為三塊：曲線AC和線段AC圍成的不規(guī)則形M、曲線BC和線段BC圍成的不規(guī)則形N、三角形ABC,只須改變∠ACB的大小,使∠ACB=90°（保持M和N的形狀不變）,則M、N的面積不變,而三角形ABC的面積變大．
這說明,此半段曲線必為半圓,從而另一半也是半圓．
該證明默認了最大值的存在性,并非完美的證明.嚴格證明需要用變分法.
