設(shè)α1,α2,α3,β均為非零列向量,α1,α2,α3,線性無(wú)關(guān)且β與α1,α2,α3分別正交,試證明α1,α2,α3,β線性無(wú)關(guān)（非常急!）

數(shù)學(xué)人氣：849 ℃時(shí)間：2020-01-14 15:46:10

優(yōu)質(zhì)解答

假設(shè)存在一組常數(shù)k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4β=0
等式兩邊同時(shí)左乘以β^T,由正交性質(zhì),(β^T)αi=0（i=1,2,3）等式化為
k4 (β^T)β=0.又β為非零列向量,因此（β^T）β不等于0,因此k4=0,代入原等式
k1α1+k2α2+k3α3=0,又由題α1α2α3線性無(wú)關(guān),因此k1=k2=k3=0;
即得出這一組常數(shù)必定全為0,k1=k2=k3=k4=0
因此α1,α2,α3,β線性無(wú)關(guān)