函數(shù)知識與代數(shù)、幾何等其它知識聯(lián)系密切,一些綜合題
要涉及到代數(shù)中的方程,不等式等內(nèi)容以及幾何中有關(guān)圖形的知
識,解決這類問題是本單元的重點和難點,也是近年來各省市
中考試題中考查的重點.
解決綜合問題,首先要有全面、扎實的知識基礎(chǔ),另外要
掌握分析問題的方法,認(rèn)真審題,運用數(shù)學(xué)思想方法,深入發(fā)
掘已知與未知及所涉及知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系.尤其要認(rèn)真觀
察圖形,探索圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系,實現(xiàn)知識間的相互轉(zhuǎn)化,
化繁為簡,化難為易.
例1.已知：如圖(1),矩形EFGH內(nèi)接于△ABC,兩個頂點E、
F在BC邊上,頂點H、G分別在AB、AC邊上.
(1)設(shè)底邊BC=12厘米,高為h厘米,GF為x厘米,GH為y厘米,
求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)在(1)的條件下,當(dāng)高h(yuǎn)=8厘米時,要使矩形EFGH的GH邊
大于4厘米,求GH的取值范圍；
(3)在(1)、(2)的條件下,要使矩形EFGH的面積為18厘米2,
此時矩形EFGH的長和寬各是多少?
分析：自變量x表示GF的長,高h(yuǎn)要看成是常量.列函數(shù)關(guān)
系式時,可用相似三角形性質(zhì)解決.
(1)作AD⊥BC,D為垂足,與HG交于M.
∵GH‖BC,
∴△AHG∽△ABC,
∴.
∵ AM=AD-MD=h-GF=h-x,BC=12,
AD=h,HG=y,
∴y=
即y=-x+12(0＜x＜h)；
(2)當(dāng)h=8厘米時,要使y=-x+12＞4,
解得x＜,
∴GF的取值范圍是0＜GF＜(厘米)；
(3)S矩形EFGH=GH*GF=x(12-x).
當(dāng)S=18厘米2時,有
x(12-x)=18.
解得x1=2,x2=6.
此時y1=9,y2=3.
∴當(dāng)矩形EFGH的面積為18厘米時,長為9厘米,寬為2厘米
或長為6厘米,寬為3厘米.
例2.在直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=x+的圖象與x軸、y
軸分別交于A和B兩點,點C的坐標(biāo)為(1,0),點D在x軸上,且
∠BCD和∠ABD是兩個相等的鈍角,求圖象經(jīng)過B、D兩點的一次
函數(shù)的解析式.
分析：本題的關(guān)鍵是要求得B、D兩點的坐標(biāo),因為B、D都是
坐標(biāo)軸上的點,故只需求得OB和OD兩線段的長,這就需要結(jié)合
圖形利用勾股定理和相似三角形等幾何知識來解決.首先在坐
標(biāo)系中找出A、B、C的位置,然后根據(jù)∠BCD與∠ABD是兩個相
等的鈍角,找到點P的大致位置,即要求CD的長,由已知可推
出△BCD∽△ABD,故有BD2=CD*(4+CD),又因為BD2=BO2+OD2,
而BO和OC已知,就可求出CD的長.
如圖(2),由已知得點A(-3,0),
點B(0,),點C(1,0).
∴AC=4.
在△BCD和△ABD中,
∵∠BCD=∠ABD,
∠BDC為公共角,
∴△BCD∽△ABD,
∴.
∴BD2=CD*AD.
在Rt△BOD中,BD2=OB2+OD2.
∴OB2+OD2=CD*AD.
即()2+(1+CD)2=CD(4+CD).
解得CD=.
∴點D的坐標(biāo)為(,0).
又∵點B坐標(biāo)為(0,),設(shè)經(jīng)過B、D兩點的一次函數(shù)的解析
式為y=kx+b,
∴
解得k=-.
∴經(jīng)過B、D兩點的一次函數(shù)的解析式為y=-x+.
說明：準(zhǔn)確畫圖對于題意的理解.思路的探求,方法的選
擇.結(jié)論的判定都有重要作用,同時也體現(xiàn)了一定的教學(xué)能力.
例3.正比例函數(shù)y=kx與直線y=- x- 相交于點P(m,n),
且關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩根為直角三角形兩銳角的余弦值,
求此正比例函數(shù)的解析式.
分析：求出m,n的值,確定點P的坐標(biāo)的是本題的關(guān)鍵.
這可以從①m,n作為P點坐標(biāo),要滿足y=- x- ；②m,n應(yīng)
滿足方程根與系數(shù)的關(guān)系,這兩個方面入手解決.
設(shè)直角三角形分別為A,B,
根據(jù)題意,有
∵cosB=sinA,
∴sinA+cosA=-m,① sinA*cosA=n.②
①2,得
sin2A+2sinAcosA+cos2A=m2,
∴1+2n=m2,③
∵點P(m,n)在直線y=- x- 上,
∴- m- =n ④
把④代入③,整理得
m2+m- =0
解得
∵cosA+cosB＞0,
∴m＜0,故m2,n2不合題意,應(yīng)舍去.
把m1,n1代入y=kx,得
=k*,
解得k=.
∴所求正比例函數(shù)的解析式為y=x.
注意：在求m,n的值時,應(yīng)注意題中的隱含條件,由A、B都
是銳角,故cosA+cosB＞0,從而決定m＜0,所以本題只有一解.
練習(xí)：
1.已知一次函數(shù)的圖象交x軸于A(-6,0),交正比例函數(shù)
圖象于B,且點B在第二象限,它的橫坐標(biāo)為-4,△AOB的面積
為15(平方單位),求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
2.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象
如圖(3),其中交點坐標(biāo)為A(4,3),
B為一次函數(shù)與y軸交點,且｜OA｜=2｜OB｜.
(1)求正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式；
(2)求△AOB的面積.
參考答案：