1. 注意到每次上面求導之后會出一個cos2x,這個東西在x->0是極限是1,所以可以扔掉
下面的過程中x->0就不寫了,逐次求導
lim（sin^4(2x)/x^3）=lim(8sin^3(2x)/6x^2)=lim(48sin^2(2x)/12x)=lim(4sin^2(2x)/x)
=lim(16sin(2x))=0
2.是一個等差數(shù)列,求和為n(n+1)/2n^a,
∴a=2時極限是1/2,a>2是極限是0
3. 其實就是用一下連續(xù)函數(shù)的介值定理,隨便一本教材上都會有的,網(wǎng)上也很好查大致思路就是取一個所有它大的東西的下確界.
4. 記f(x)=e^x + e^(-x) +2cosx-5 f與x軸的交點就是解
f'(x)=e^x - e^(-x) -2sinx f''(x)=e^x + e^(-x) -2cosx
由均值不等式, e^x + e^(-x)>=2>=2cosx 所以f''(x)恒非負
所以f'(x)單調(diào)遞增,容易看出f(-無窮)0,所以f是先減后增的
所以f與x軸至多有2個交點.又因為f(-無窮)>0,f(0)0
所以由介質(zhì)性質(zhì),f在（負無窮,0）與（0,正無窮）上與x軸都會有交點
所以恰有2個交點,也就是2個解
5. 兩個不等號證明方法類似,以左邊為例
記f(x)=ln(x+1)-x/(x+1) 則f'(x)=1/(x+1)-1/(x+1)^2=x/(1+x)^2>0
所以f單調(diào)遞增 又f(0)=0-0=0 所以f在x>0時大于0
即ln(x+1)>x/(x+1) 另一邊類似
6.兩個都是奇函數(shù),又因為區(qū)間關于0對稱,所以積分結果都是0
（證明：設f(x)是奇函數(shù),區(qū)間為（-a,a）,則可以分成兩段（-a,0）和(0,a),在第一段上做代換t=-x,區(qū)間就和第二段的一樣了,加起來就是0了）