f(x,y)連續(xù)是f(x,y)偏導數存在的__D無關__條件
顯然,連續(xù)不一定存在偏導數.
下面說明偏導數存在不一定連續(xù)：
把二元函數想像成平面上的函數,則連續(xù)需要在各個方向（橫的,豎的,斜的）直線上都連續(xù)；而對x的偏導數存在只說明函數限制到每條橫的直線（y=a）上后作為x的一元函數可導,對y的偏導數存在只說明函數限制到每條豎的直線（x=a）上后作為y的一元函數可導.
最簡單的例子：定義二元函數在左半平面取0,右半平面取1,則它在每條豎的直線上都可導（因為是常數）,而在橫的直線上不連續(xù)（左0右1）,所以它對y的偏導數存在但不連續(xù)；類似地,定義二元函數在下半平面取0,上半平面取1,則它對x的偏導數存在但不連續(xù).
即使二元函數對x和y的偏導數都存在,只說明它在所有橫的和豎的直線上可導,理論上仍有可能在某條斜的直線上不連續(xù).這種函數沒有上面那么容易想,但確實是存在的,一般微積分書上會給出標準的例子：f(x,y)在坐標原點取0,其它地方=xy/(x^2+y^2).
推廣一下,一般的多元函數可以想像成高維空間上的函數,連續(xù)需要在各個方向的平面上都連續(xù),而偏導數存在只說明在所有和坐標平面平行的平面上可導－－后者推不出前者. 一元函數不會有這種問題,因為直線上只有一種方向