分式里的歐拉公式
a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b)
當(dāng)r=0,1時式子的值為0 當(dāng)r=2時值為1
當(dāng)r=3時值為a+b+c
e^ix=cosx+isinx,e是自然對數(shù)的底,i是虛數(shù)單位.它將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.
e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e＾x的展開式中把x換成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”減加”）
e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式里的x換成-x,得到：
e^-ix=cosx-isinx,然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式.將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^iπ+1=0.這個恒等式也叫做歐拉公式
三角形中的歐拉公式
設(shè)R為三角形外接圓半徑,r為內(nèi)切圓半徑,d為外心到內(nèi)心的距離,則：d＾2=R＾2-2Rr
拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式
V+F-E=X(P),V是多面體P的頂點個數(shù),F是多面體P的面數(shù),E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù).
如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上）,那么X(P)=2,如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面,那么X(P)=2-2h.
X(P)叫做P的歐拉示性數(shù),是拓?fù)洳蛔兞?就是無論再怎么經(jīng)過拓?fù)渥冃我膊粫淖兊牧?是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍.
在多面體中的運用:
簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系
V+F-E=2
這個公式叫歐拉公式
初等數(shù)論里的歐拉公式
歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里,和n互素的整數(shù)的個數(shù).n是一個正整數(shù).
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標(biāo)準(zhǔn)素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數(shù),而且兩兩不等.則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它.
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名.
(6) 立體圖形里的歐拉公式：
面數(shù)+頂點數(shù)—2=棱數(shù)