【兔子數(shù)列】
　　
即斐波那契數(shù)列,“斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者,是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍貫大概是比薩）.他被人稱作“比薩的列昂納多”.
　　斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：0,1,1,2,3,5,8,13,21……
這個數(shù)列從第三項開始,每一項都等于前兩項之和.它的通項公式為：
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】
　　很有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列,通項公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的.
【該數(shù)列有很多奇妙的屬性】
　　比如：隨著數(shù)列項數(shù)的增加,前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……
　　還有一項性質(zhì),從第二項開始,每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1,每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1.
　　如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊,拼成一個5*13的長方形,故作驚訝地問你：為什么64＝65?其實就是利用了斐波那契數(shù)列的這個性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項,事實上前后兩塊的面積確實差1,只不過后面那個圖中有一條細(xì)長的狹縫,一般人不容易注意到.
　　如果任意挑兩個數(shù)為起始,比如5、-2.4,然后兩項兩項地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展,前后兩項之比也越來越逼近黃金分割,且某一項的平方與前后兩項之積的差值也交替相差某個值.
　　斐波那契數(shù)列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù).
【斐波那契數(shù)列別名】
　　斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”.
　　斐波那契數(shù)列
　　一般而言,兔子在出生兩個月后,就有繁殖能力,一對兔子每個月能生出一對小兔子來.如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少對兔子?
　　我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
　　第一個月小兔子沒有繁殖能力,所以還是一對;
　　兩個月后,生下一對小兔民數(shù)共有兩對;
　　三個月以后,老兔子又生下一對,因為小兔子還沒有繁殖能力,所以一共是三對;
　?。?
　　依次類推可以列出下表：
　　經(jīng)過月數(shù)：0 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12
　　兔子對數(shù)：1 1 2 35 8 13 21 34 55 89 144 233
　　表中數(shù)字0,1,1,2,3,5,8－－－構(gòu)成了一個數(shù)列.這個數(shù)列有關(guān)十分明顯的特點,那是：前面相鄰兩項之和,構(gòu)成了后一項.
　　這個數(shù)列是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的,這個級數(shù)的通項公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質(zhì)外,還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2)n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.）
【斐波那挈數(shù)列通項公式的推導(dǎo)】
　　斐波那契數(shù)列：0,1,1,2,3,5,8,13,21……
　　如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(n∈N+).那么這句話可以寫成如下形式：
　　F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)
　　顯然這是一個線性遞推數(shù)列.
　　通項公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程
　　線性遞推數(shù)列的特征方程為：
　　X^2=X+1
　　解得
　　X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.
　　則F(n)=C1*X1^n +C2*X2^n
　　∵F(1)=F(2)=1
　　∴C1*X1 + C2*X2
　　C1*X1^2 + C2*X2^2
　　解得C1=1/√5,C2=-1/√5
　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】
　　通項公式的推導(dǎo)方法二：普通方法
　　設(shè)常數(shù)r,s
　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
　　則r+s=1, -rs=1
　　n≥3時,有
　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
　　……
　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
　　將以上n-2個式子相乘,得：
　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
　　∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
　　上式可化簡得：
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
　　那么：
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
　　……
　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
　　（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數(shù)列的各項的和）
　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
　　=(s^n - r^n)/(s-r)
　　r+s=1, -rs=1的一解為s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
　　則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n- [(1-√5)/2]^n}
　　
　　斐波那契數(shù)列（f(n),f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2……）的其他性質(zhì)：
　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1
　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1
　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
　　在楊輝三角中隱藏著斐波那契數(shù)列
　　1
　　1 1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　……
　　過第一行的“1”向左下方做45度斜線,之后做直線的平行線,將每條直線所過的數(shù)加起來,即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8……
　　
（1）細(xì)察下列各種花,它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花.
　　（2）細(xì)察以下花的類似花瓣部分,它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊.
　　斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：
　　3………………………百合和蝴蝶花
　　5………………………藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草
　　8………………………翠雀花
　　13………………………金盞草
　　21………………………紫宛
34,55,84……………雛菊、
（3）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn).
例如,在樹木的枝干上選一片葉子,記其為數(shù)0,然后依序點數(shù)葉子（假定沒有折損）,直到到達(dá)與那息葉子正對的位置,則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù).葉子從一個位置到達(dá)下一個正對的位置稱為一個循回.葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù).在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞,意即葉子的排列）比.多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比.
　　（4）斐波那契數(shù)列與黃金比值
　　相繼的斐波那契數(shù)的比的數(shù)列：
　　它們交錯地或大于或小于黃金比的值.該數(shù)列的極限為.這種聯(lián)系暗示了無論（尤其在自然現(xiàn)象中）在哪里出現(xiàn)黃金比、黃金矩形或等角螺線,那里也就會出現(xiàn)斐波那契數(shù),反之亦然.
　　可它的每一項卻都是整數(shù).而且這個數(shù)列中相鄰兩項的比值,越靠后其值越接近0.618.這個數(shù)列有廣泛的應(yīng)用,如樹的年分枝數(shù)目就遵循斐波那契數(shù)列的規(guī)律；而且計算機科學(xué)的發(fā)展,為斐波那契數(shù)列提供了新的應(yīng)用場所.