證明：∵a＞b＞c＞0，要證a+

3

3 (a?b)(b?c)c

≥6，
只要證 （a-b）+（b-c）+c+

1

3 (a?b)(b?c)c

+

1

3 (a?b)(b?c)c

+

1

3 (a?b)(b?c)c

≥6  ①．
由于不等式的左邊這6項(xiàng)全部都是正實(shí)數(shù)，且這6項(xiàng)的積等于定值1，故這6個正數(shù)的幾何平均數(shù)等于1，
由6個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于這6個正數(shù)的幾何平均數(shù)可得

(a?b) +(b?c) +c + 1 3 (a?b)(b?c)c  + 1 3 (a?b)(b?c)c + 1 3 (a?b)(b?c)c

6

≥1，
故①成立，故原不等式成立．