排列組合問題的解題策略
關(guān)鍵詞： 排列組合,解題策略
一、相臨問題——捆綁法
例1．7名學(xué)生站成一排,甲、乙必須站在一起有多少不同排法?
兩個(gè)元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決,先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列,并考慮甲乙二人的順序,所以共有 種.
評(píng)注：一般地: 個(gè)人站成一排,其中某 個(gè)人相鄰,可用“捆綁”法解決,共有 種排法.
二、不相臨問題——選空插入法
例2． 7名學(xué)生站成一排,甲乙互不相鄰有多少不同排法?
甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法,所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為：種 .
評(píng)注：若 個(gè)人站成一排,其中 個(gè)人不相鄰,可用“插空”法解決,共有 種排法.
三、復(fù)雜問題——總體排除法
在直接法考慮比較難,或分類不清或多種時(shí),可考慮用“排除法”,解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對(duì)其構(gòu)成元素的限制.
例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn),以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè).
從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種,但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形,有3條,所以滿足條件的三角形共有 －3＝32個(gè).
四、特殊元素——優(yōu)先考慮法
對(duì)于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題,可以考慮優(yōu)先安排特殊位置,然后再考慮其他位置的安排.
例4． (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念,若老師不排在兩端,則共有不同的排法 種．
先考慮特殊元素（老師）的排法,因老師不排在兩端,故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置,有 種,而其余學(xué)生的排法有 種,所以共有＝72種不同的排法.
例5．（2000年全國高考題）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員,派5名隊(duì)員參加比賽,3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置,其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置,那么不同的出場安排共有 種.
由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力隊(duì)員,有 種排法,而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置,有 種排法,所以不同的出場安排共有＝252種.
五、多元問題——分類討論法
對(duì)于元素多,選取情況多,可按要求進(jìn)行分類討論,最后總計(jì).
例6．（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為（A）
A．42B．30 C．20 D．12
增加的兩個(gè)新節(jié)目,可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種.故不同插法的種數(shù)為：A62 +A22A61=42 ,故選A.
例7．（2003年全國高考試題）如圖, 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種?（以數(shù)字作答）
區(qū)域1與其他四個(gè)區(qū)域相鄰,而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰,因此,可以涂三種或四種顏色． 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72.
六、混合問題——先選后排法
對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題,可采取先選取元素,后進(jìn)行排列的策略．
例8．（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查,若每個(gè)路口4人,則不同的分配方案共有（ ）
A． 種B． 種
C． 種 D． 種
本試題屬于均分組問題. 則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法,分配到三個(gè)不同的路口的不同的分配方案共有： 種,故選A.
例9．（2003年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有（ ）
A．24種B．18種C．12種 D．6種
解:先選后排,分步實(shí)施. 由題意,不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12,故應(yīng)選C.
七．相同元素分配——檔板分隔法
例10．把10本相同的書發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室,每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù),試求不同分法的種數(shù).請(qǐng)用盡可能多的方法求解,并思考這些方法是否適合更一般的情況?
本題考查組合問題.
先讓2、3號(hào)閱覽室依次分得1本書、2本書；再對(duì)余下的7本書進(jìn)行分配,保證每個(gè)閱覽室至少得一本書,這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“I”（一般可視為“隔板”）共有 種插法,即有15種分法.
總之,排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清,加乘明確；有序排列,無序組合；分類為加,分步為乘.
具體說,解排列組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑：
（1）以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素.
（2）以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置.
（3）先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不合要求的排列組合數(shù).
排列組合問題的解題方略
湖北省安陸市第二高級(jí)中學(xué) 張征洪
排列組合知識(shí),廣泛應(yīng)用于實(shí)際,掌握好排列組合知識(shí),能幫助我們?cè)谏a(chǎn)生活中,解決許多實(shí)際應(yīng)用問題.同時(shí)排列組合問題歷來就是一個(gè)老大難的問題.因此有必要對(duì)排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點(diǎn)歸納和總結(jié),以期充分掌握排列組合知識(shí).
首先,談?wù)勁帕薪M合綜合問題的一般解題規(guī)律:
1）使用“分類計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式而定,可以分類來完成這件事時(shí)用“分類計(jì)數(shù)原理”,需要分步來完成這件事時(shí)就用“分步計(jì)數(shù)原理”；那么,怎樣確定是分類,還是分步驟?“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事件,而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件,所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾,相互獨(dú)立,彼此間交集為空集,并集為全集,不論哪類辦法都能將事情單獨(dú)完成,分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,步與步之間互不影響,即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法.
2）排列與組合定義相近,它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān).
3）復(fù)雜的排列問題常常通過試驗(yàn)、畫 “樹圖 ”、“框圖”等手段使問題直觀化,從而尋求解題途徑,由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn),因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗(yàn).
4）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按事件發(fā)生的連續(xù)性進(jìn)行分步是處理排列組合問題的基本思想方法,要注意“至少、至多”等限制詞的意義.
5）處理排列、組合綜合問題,一般思想是先選元素（組合）,后排列,按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類”和按事件的過程“分步”,始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法,通過解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能,保證每步獨(dú)立,達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清楚,不重不漏.
6）在解決排列組合綜合問題時(shí),必須深刻理解排列組合的概念,能熟練地對(duì)問題進(jìn)行分類,牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì),容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù).
總之,解決排列組合問題的基本規(guī)律,即：分類相加,分步相乘,排組分清,加乘明確；有序排列,無序組合；正難則反,間接排除等.
其次,我們?cè)谧プ栴}的本質(zhì)特征和規(guī)律,靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí),還要注意講究一些解題策略和方法技巧,使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解.下面介紹幾種常用的解題方法和策略.
一．特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對(duì)于特殊元素（位置）的排列組合問題,一般先考慮特殊,再考慮其他.
例1、 用0,2,3,4,5,五個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有（ ）.
A． 24個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè) D.60個(gè)
[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù),故末尾數(shù)字必為偶數(shù),又因?yàn)?不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,應(yīng)該優(yōu)先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時(shí),有A42個(gè),2）0不排在末尾時(shí),則有C21 A31A31個(gè),由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理,共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個(gè),選B.
二．總體淘汰法：對(duì)于含否定的問題,還可以從總體中把不合要求的除去.如例1中,也可用此法解答:五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個(gè),排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位,而且數(shù)字3,5也不能排末位,這兩種排法要排除,故有A53--3A42+ C21A31=30個(gè)偶數(shù).
三．合理分類與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問題,按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步,做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清楚,不重不漏.
四．相鄰問題用捆綁法：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí),先整體考慮,將相鄰的元素“捆綁”起來,看作一“大”元素與其余元素排列,然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法．
例2、有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本,外語書2本,其它學(xué)科書3本．若將這些書排成一列放在書架上,讓數(shù)學(xué)書排在一起,外語書也恰好排在一起的排法共有()種．(結(jié)果用數(shù)值表示)
把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書,2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書,與其它3本書一起看作5個(gè)元素,共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A33種排法,2本外語書有A22種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A55 A33 A22=1440(種).
注：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時(shí),一定要注意“捆綁”起來的大元素內(nèi)部的順序問題．
五．不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰,由其它元素將它們隔開．解決此類問題可以先將其它元素排好,再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置,故稱插空法．
例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù),要求1與2相鄰,2與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰.這樣的八位數(shù)共有()個(gè)．(用數(shù)字作答)
由于要求1與2相鄰,2與4相鄰,可將1、2、4這三個(gè)數(shù)字捆綁在一起形成一個(gè)大元素,這個(gè)大元素的內(nèi)部中間只能排2,兩邊排1和4,因此大元素內(nèi)部共有A22種排法,再把5與6也捆綁成一個(gè)大元素,其內(nèi)部也有A22種排法,與數(shù)字3共計(jì)三個(gè)元素,先將這三個(gè)元素排好,共有A33種排法,再從前面排好的三個(gè)元素形成的間隙及兩端共四個(gè)位置中任選兩個(gè),把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可,共有A42種插法,所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22 A33 A42＝288(種)．
注：運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問題時(shí),要注意欲插入的位置是否包含兩端位置．
六．順序固定用“除法”：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列,然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù).
例4、6個(gè)人排隊(duì),甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種?
分析：不考慮附加條件,排隊(duì)方法有A66種,而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件.故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種.(或A63種)
例5、4個(gè)男生和3個(gè)女生,高矮不相等,現(xiàn)在將他們排成一行,要求從左到右女生從矮到高排列,有多少種排法.
先在7個(gè)位置中任取4個(gè)給男生,有A74 種排法,余下的3個(gè)位置給女生,只有一種排法,故有A74 種排法.(也可以是A77 ÷A33種)
七．分排問題用“直排法”：把幾個(gè)元素排成若干排的問題,可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理.
例6、7個(gè)人坐兩排座位,第一排3個(gè)人,第二排坐4個(gè)人,則不同的坐法有多少種?
分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐,再無其它條件,故兩排可看作一排來處理,不同的坐法共有A77種.
八．逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多,直接解決困難時(shí),用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律.
例7.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的方格中,每方格填1個(gè),方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）
A．6B.9C.11D.23
第一方格內(nèi)可填2或3或4,如第一填2,則第二方格可填1或3或4,若第二方格內(nèi)填1,則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4,后兩方格也只有一種填法.一共有9種填法,故選B
九、構(gòu)造模型 “隔板法”
對(duì)于較復(fù)雜的排列問題,可通過設(shè)計(jì)另一情景,構(gòu)造一個(gè)隔板模型來解決問題.
例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解?
分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列,在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板,把球分成4堆,每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目,對(duì)應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解,故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C113 .
又如方程a+b+c+d=12非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù),可用此法解.
十.正難則反——排除法
對(duì)于含“至多”或“至少”的排列組合問題,若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論,可以考慮“總體去雜”,即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉,從而計(jì)算出符合條件的排列組合數(shù)的方法．
例9、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái),其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái),則不同的取法共有()種．
A．140種 B．80種 C．70種D．35種
在被取出的3臺(tái)中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意,因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種),故選C．
注：這種方法適用于反面的情況明確且易于計(jì)算的習(xí)題．
十一．逐步探索法：對(duì)于情況復(fù)雜,不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題需要認(rèn)真分析,探索出其規(guī)律
例10、從1到100的自然數(shù)中,每次取出不同的兩個(gè)數(shù),使它們的和大于100,則不同的取法種數(shù)有多少種.
兩個(gè)數(shù)相加中以較小的數(shù)為被加數(shù),1+100>100,1為被加數(shù)時(shí)有1種,2為被加數(shù)有2種,…,49為被加數(shù)的有49種,50為被加數(shù)的有50種,但51為被加數(shù)有49種,52為被加數(shù)有48種,…,99為被捕加數(shù)的只有1種,故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500種
十二．一一對(duì)應(yīng)法：
例11.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍,要比賽幾場?
要產(chǎn)生一名冠軍,要淘汰冠軍以外的所有選手,即要淘汰99名選手,要淘汰一名就要進(jìn)行一場,故比賽99場.
應(yīng)該指出的是,以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問題常用方法,并非絕對(duì)的.數(shù)學(xué)是一門非常靈活的課程,同一問題有時(shí)會(huì)有多種解法,這時(shí),要認(rèn)真思考和分析,靈活選擇最佳方法．還有像多元問題“分類法”、環(huán)排問題“線排法”、“等概率法”等在此不贅述了.