本題要證明：1/(b-a)∫[a--->b] f(x)dx≤(1/(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx)^½
兩邊平方,即應證：1/(b-a)²(∫[a--->b] f(x)dx)²≤1/(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx
即：(∫[a--->b] f(x)dx)²≤(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx
由于：b-a=∫[a--->b] 1dx,因此該不等式其實是柯西-許瓦茲不等式的特例.
下面是該不等式的一個經(jīng)典證法：
構造函數(shù)g(t)=t²∫[a--->b]f²(x)dx+2t∫[a--->b] f(x)dx+(b-a)
由于定積分的結果為常數(shù),因此該函數(shù)是一個二次函數(shù)
又g(t)=t²∫[a--->b]f²(x)dx+2t∫[a--->b] f(x)dx+∫[a--->b] 1dx
=∫[a--->b] (t²f²(x)+2tf(x)+1) dx 注意到被積函數(shù)是一個完全平方
=∫[a--->b] (tf(x)+1)² dx
≥0
由于二次函數(shù)恒大于等于0,因此其判別式Δ≤0
得：[2∫[a--->b] f(x)dx]²-4(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx≤0
整理后即為：(∫[a--->b] f(x)dx)²≤(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx
因此原不等式得證.