證明,f(x)=√（x²+1)-x在區(qū)間(-無窮大,0]上是減函數(shù),在[0,+無窮大）上也是減函數(shù),

數(shù)學人氣：937 ℃時間：2019-10-23 06:15:06

優(yōu)質(zhì)解答

f(x)=√(x²+1)-x
f'(x)=x/√(x²+1)-1
令f'(x)≤0,即：x/√(x²+1)-1≤0
整理,有：[x-√(x²+1)]/√(x²+1)≤0
因為：恒有√(x²+1)＞0
所以：x-√(x²+1)≤0
因為：x^2＜x^2+1
所以：恒有x＜√(x²+1)
即：無論x取何值,恒有：x-√(x²+1)≤0
因此：函數(shù)f(x)的減區(qū)間是：x∈(-∞,∞).
即：當x∈(-∞,0]及x∈[0,∞)時,f(x)都是減函數(shù).