泰勒級數(shù)的問題
求括號內(nèi)所示結(jié)束的麥克勞林公式
一、Fx=tanx(3階)
答案是令tanx=ax+bx^3+o(x^4),tanx=sinx/cosx,sinx=x-x^3/6+o(x^4),cosx=1-x^2/2+o(x^3),接著代入求出系數(shù),我想問為什么tanx,sinx的余項不是o(x^3)而是o(x^4)?不是3階嗎?
二、Fx=[(1+x)/(1-x)]^0.5 (3階)
答案是把(1+x)/(1-x)寫成1+2x/(1-x),令2x/(1-x)=t
然后Fx=1+t/2-t^2/8+t^3/16+o(t^3)
t=2x/(1-x)=2x[1+x+x^2+o(x^2)] (為什么這里是o(x^2),不是o(x^3)?里面的幾次方到底是怎么確定的?)
t^2=[2x/(1-x)]^2=4x^2[1+x+o(x^2)]^2=4x^2[1+2x+o(x)] 這兩個等號為什么是這樣的?第一個等號后面怎么直接把x^2忽略了?后面為什么又是變成1+2x+o(x）?是為了保證最后得到O(x^3)才這樣省略的嗎?到底應該展開到哪一項,還有o()里的x的次方數(shù)要怎么確定呢?希望老師講解一下,