已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2（x-a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

數(shù)學(xué)人氣：714 ℃時(shí)間：2019-08-20 09:21:31

優(yōu)質(zhì)解答

（I）f'（x）=3x²-2ax．因?yàn)閒'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又當(dāng)a=0時(shí)，f（1）=1，f'（1）=3，則切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），斜率為3
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=3（x-1）化簡得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得x1＝0，x2＝

．
當(dāng)

≤0，即a≤0時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f_max=f（2）=8-4a．
當(dāng)

≥2時(shí)，即a≥3時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f_max=f（0）=0．
當(dāng)0＜

＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，

]上單調(diào)遞減，在[

，2]上單調(diào)遞增，從而fmax＝

8?4a，0＜a≤2.

0，2＜a＜3.

綜上所述，fmax＝

8?4a，a≤2.

0，a＞2.

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已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2（x-a）． （Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程； （Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

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