也許是你用的書(shū)寫(xiě)得太簡(jiǎn)略,或者是你自己跳過(guò)了諸如凹凸性,單調(diào)性,極值等問(wèn)題的嚴(yán)格推導(dǎo).
首先從幾何的角度講,中值定理可以用來(lái)描述幾何直觀(guān),比如Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的幾何意義都是“存在與割線(xiàn)平行的切線(xiàn)”,Taylor中值定理的幾何意義則比較復(fù)雜,可以理解成用高次曲線(xiàn)而非直線(xiàn)去代替割線(xiàn).
你只要去看一下單調(diào)性凹凸性等你認(rèn)為特別有用的性質(zhì)的具體討論就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些幾何上很直觀(guān)的性質(zhì)嚴(yán)格證明并不容易,或者通俗地講就是很多看著很顯然的東西在邏輯上講不清楚,而中值定理恰好可以把那些困難的地方給克服了,很好地把幾何直觀(guān)講清楚,這樣才把導(dǎo)數(shù)和那些實(shí)用的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái).你不妨自己證明一下f'(x)在區(qū)間(a,b)上恒大于0,那么f(x)在(a,b)上嚴(yán)格單調(diào)遞增,如果不用中值定理的話(huà)這個(gè)證明是很困難的(當(dāng)年華羅庚先生曾試圖回避中值定理,但是也沒(méi)能完全做到這一點(diǎn)).
從數(shù)學(xué)本身來(lái)講,存在性的定理基本上是最重要的,中值定理無(wú)一例外的都是存在性定理,并且其技術(shù)價(jià)值也遠(yuǎn)不止表述幾何直觀(guān)那樣簡(jiǎn)單,基本上可以說(shuō)第一代微積分的大廈至少有一半是由各種中值定理（包括積分中值定理）來(lái)搭建的,第二代微積分主要彌補(bǔ)了邏輯基礎(chǔ)上的不足,從實(shí)用性上則沒(méi)有太多的改進(jìn).目前有學(xué)者在研究回避極限和中值定理的第三代微積分,不過(guò)個(gè)人認(rèn)為那只是為了讓非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的初學(xué)者更快入門(mén),用不等式來(lái)代替等式總不會(huì)是萬(wàn)能的.說(shuō)的一點(diǎn)都不錯(cuò)啊！我的考研數(shù)學(xué)書(shū)真的太簡(jiǎn)略了，是大專(zhuān)院校用的那種《應(yīng)用微積分》教材，自考用的《線(xiàn)性代數(shù)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，本來(lái)打算買(mǎi)同濟(jì)版的高等數(shù)學(xué)等專(zhuān)業(yè)書(shū)籍的，可是以為都一樣呢，就將就省著點(diǎn)用了，哎哎，到底不行的。好多東西它都是不加證明的，有疑問(wèn)也沒(méi)法解答，只好自己猜了。我現(xiàn)在就到網(wǎng)上買(mǎi)新教材了，不能再用了。害死人了。