容易驗證n=1,2,3,4都不可行,所以n≥5.
3^n+81=3^4*[3^(n-4)+1]
要使3^n+81是完全平方數(shù),則3^(n-4)+1是完全平方數(shù),設(shè)
3^(n-4)+1=k^2,于是
3^(n-4)=(k-1)(k+1),注意到兩個正整數(shù)k-1與k+1相差2,所以不可能同為3的倍數(shù),但二者之積卻是3的冪,也就是說二者也都是3的冪,只有一種情況：
k-1=1,k+1=3,這時k=2,n=5.
也就是說只有n=5時,3^n+81是完全平方數(shù).