已知f（x）是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

已知f（x）是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

數(shù)學(xué)人氣：587 ℃時間：2020-03-29 08:18:46

優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明∵f（x）=f（x+1）+f（x-1）
∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
則f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）
=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1）．
∴f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]
=-f（x）．
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x）．
∴f（x）是周期函數(shù)且6是它的一個周期．
（2）∵f（x）是周期函數(shù)且6是它的一個周期．
f（2004）=f（334×6）=f（0）=-f（3）=-2．

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已知f（x）是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立． （1）求證：f（x）是周期函數(shù)； （2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

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