∵橢圓x²/a²+y²/b²=1離心率是√2/2,c/a=√2/2 c²=a²/2=a²-b²
∴a²=2b²
∴橢圓方程可設(shè)為x²/4k²+y²/2k²=1,把點P(√6/2,1/2）代入,得
(6/4)/4k²+(1/4)/2k²=1,
解得,k²=1/2
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x²/2+y²=1．
（2）依題意,O(0,0)M(2,t)
所以O(shè)M為直徑的圓的圓心是(1,t/2),從而半徑r為:√(1+t²/4)
∵圓心(1,t/2)到直線3x-4y-5=0的距離d為|3-2t-5|/5
∵圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2,弦長的一半1,距離d和半徑組成的直角三角形種,
勾股定理 d²+1²=r²
∴d=√(r²-1)=√[(1+t²/4)-1]=t/2
∴|3-2t-5|/5=t/2 (t>0)
解得t=4
圓心(1,t/2)=(1,2) 半徑√(1+t²/4)=√5
∴所求圓的方程是(x-1)²+(y-2)²=5．
(3)F(1,0),設(shè)N(x0,y0),
則向量ON=(x0,y0),向量OM=(2,t),向量FN=(x0-1,y0),向量MN=(x0-2,y0-t)
∵向量FN⊥向量OM
∴2(x0-1)+ty0=0
化簡得 2x0+ty0=2 ⑧
∵∠ONM=90º
∴向量MN⊥向量ON
∴x0(x0-2)+y0(y0-t)=0 化簡得 x0²+y0²=2x0+ty0=2 (由⑧得)
∴|向量ON|=√(x0²﹢y0²)=√2
ON=√2