令x=1,則
f(1+y)=f(1)+2(1-y)y
=1+2y-2y^2
=1+2(y+1)-2-2(1+y)^2+4(y+1)-2
所以
f(y)=-2y^2+6y-3
即解析式為
f(x)=-2x^2+6x-3
令x=0,y=1時(shí),f(1)=f(0)-2(0-1),
得f(0)=3,不滿足前面的解；
令x=0,y=t(不令y=x,避免出現(xiàn)y=x=0的不必要麻煩)時(shí),
f(t)=f(0)+2(-t)t=-2t^2+f(0)=-2t^2+3,也不符合前面的解.
如此看來(lái)原題有錯(cuò)誤.
假設(shè),令x=m+n,y=-n,代入題目條件中,得
f(m)=f(m+n)+2(m+2n)(-n),
此時(shí),用x、y代換上式得m、n,則
f(x)=f(x+y)-2y(x+2y),即
f(x+y)=f(x)+2y(x+2y)
將此式與題目條件
f(x+y)=f(x)+2y(x-y)
對(duì)比,可知應(yīng)當(dāng)有2y(x+2y)=2y(x-y)
由此得y=0,x∈R.
可見,要使題目條件成立的前提下有解,
應(yīng)當(dāng)說(shuō)明此式的y=0,
否則就出現(xiàn)了閣下的疑問(wèn),
得到多種不同的解,
包括在下之前的錯(cuò)解了.