對數(shù)的公理化定義
真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零,如果有根號,要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于等于零, 底數(shù)則要大于0且不為1 對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1? 【在一個普通對數(shù)式里 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值的.但是,根據(jù)對數(shù)定義: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實數(shù)（比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等）第二,根據(jù)定義運算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么這個等式兩邊就不會成立 （比如,log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一個等于4,另一個等于-4）】 通常我們將以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)（common logarithm),并把log10N記為lgN.另外,在科學技術中常使用以無理數(shù)e=2.71828···為底數(shù)的對數(shù),以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)（natural logarithm),并且把loge N 記為In N. 根據(jù)對數(shù)的定義,可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關系： 當a 〉0,a≠ 1時,a^x=N→X=logaN. 由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的這個關系,可以得到關于對數(shù)的如下結(jié)論： 負數(shù)和零沒有對數(shù)； loga 1=0 loga a=1
編輯本段對數(shù)的定義和運算性質(zhì)
一般地,如果a（a大于0,且a不等于1）的b次冪等于N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù),記作log(a)（N）=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù). 底數(shù)則要大于0且不為1 真數(shù)大于0
對數(shù)的運算性質(zhì)：
當a>0且a≠1時,M>0,N>0,那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R） （4）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1） (5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 證明： 設a=n^x 則a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a) (6)對數(shù)恒等式：a^log（a)N=N; log（a）a^b=b
對數(shù)與指數(shù)之間的關系
當a>0且a≠1時,a^x=N x=㏒(a)N
編輯本段對數(shù)函數(shù)
右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù). （1） 對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合. （2） 對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合. （3） 函數(shù)圖像總是通過（1,0）點. （4） a大于1時,為單調(diào)增函數(shù),并且上凸；a小于1大于0時,函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),并且下凹. （5） 顯然對數(shù)函數(shù)無界. 對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達方式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)： 如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n屬于R） （4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R） 對數(shù)與指數(shù)之間的關系 當a大于0,a不等于1時,a的X次方=N等價于log(a)N log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R） 換底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然對數(shù) 以e為底 e為無限不循環(huán)小數(shù) lg 常用對數(shù) 以10為底
編輯本段對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達方式
（1）常用對數(shù):lg(b)=log(10)(b) （2）自然對數(shù):ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對數(shù)函數(shù)的定義 對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=㏒(a)x,它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(圖象關于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)）,可表示為x=a^y.因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定（a>0且a≠1）,同樣適用于對數(shù)函數(shù). 右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù).
編輯本段性質(zhì)
定義域求對數(shù)函數(shù)y=loga x 的定義域是｛x ｜x>0｝,但如果遇到對數(shù)型復合函數(shù)的定義域的求解,除了要注意真數(shù)大于0以外,還應注意底數(shù)大于0且不等于1,如求函數(shù)y=logx（2x-1）的定義域,需滿足｛x>0且x≠1｝ . ｛2x-1>0 =〉x>1/2且x≠1,即其定義域為 ｛x ｜x>1/2且x≠1｝值域：實數(shù)集R 定點：函數(shù)圖像恒過定點（1,0）. 單調(diào)性：a>1時,在定義域上為單調(diào)增函數(shù),并且上凸；
0<a<1時,在定義域上為單調(diào)減函數(shù),并且下凹. 奇偶性：非奇非偶函數(shù),或者稱沒有奇偶性. 周期性：不是周期函數(shù) 零點：x=1 注意：負數(shù)和0沒有對數(shù). 兩句經(jīng)典話：底真同對數(shù)正 底真異對數(shù)負
編輯本段對數(shù)函數(shù)的歷史：
16世紀末至17世紀初的時候,當時在自然科學領域（特別是天文學）的發(fā)展上經(jīng)常遇到大量精密而又龐大的數(shù)值計算,于是數(shù)學家們?yōu)榱藢で蠡喌挠嬎惴椒ǘl(fā)明了對數(shù). 德國的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整數(shù)算術》中,寫出了兩個數(shù)列,左邊是等比數(shù)列（叫原數(shù)）,右邊是一個等差數(shù)列（叫原數(shù)的代表,或稱指數(shù),德文是Exponent ,有代表之意）. 欲求左邊任兩數(shù)的積（商）,只要先求出其代表（指數(shù)）的和（差）,然后再把這個和（差）對向左邊的一個原數(shù),則此原數(shù)即為所求之積（商）,可惜史提非并未作進一步探索,沒有引入對數(shù)的概念. 納皮爾對數(shù)值計算頗有研究.他所制造的「納皮爾算籌」,化簡了乘除法運算,其原理就是用加減來代替乘除法. 他發(fā)明對數(shù)的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法,他依據(jù)一種非常獨等的與質(zhì)點運動有關的設想構(gòu)造出所謂對數(shù)方 法,其核心思想表現(xiàn)為算術數(shù)列與幾何數(shù)列之間的聯(lián)系.在他的《奇妙的對數(shù)表的描述》中闡明了對數(shù)原理,后人稱為 納皮爾對數(shù),記為Nap．㏒x,它與自然對數(shù)的關系為 Nap．㏒x=107㏑(107/x) 由此可知,納皮爾對數(shù)既不是自然對數(shù),也不是常用對數(shù),與現(xiàn)今的對數(shù)有一定的距離. 瑞士的彪奇（1552-1632）也獨立地發(fā)現(xiàn)了對數(shù),可能比納皮爾較早,但發(fā)表較遲（1620）. 英國的布里格斯在1624年創(chuàng)造了常用對數(shù). 1619年,倫敦斯彼得所著的《新對數(shù)》使對數(shù)與自然對數(shù)更接近（以e=2.71828...為底）. 對數(shù)的發(fā)明為當時社會的發(fā)展起了重要的影響,正如科學家伽利略（1564-1642）說：「給我時間,空間和對數(shù),我可以創(chuàng)造出一個宇宙」. 又如十八世紀數(shù)學家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「對數(shù)用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」. 最早傳入我國的對數(shù)著作是《比例與對數(shù)》,它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的.當時在lg2=0.3010中,2叫「真數(shù)」,0.3010叫做「假數(shù)」,真數(shù)與假數(shù)對列成表,故稱對數(shù)表.后來改用 「假數(shù)」為「對數(shù)」. 我國清代的數(shù)學家戴煦（1805-1860）發(fā)展了多種的求對數(shù)的捷法,著有《對數(shù)簡法》（1845）、《續(xù)對數(shù)簡法》（1846）等.1854年,英國的數(shù)學家艾約瑟（1825-1905） 看到這些著作后,大為嘆服. 當今中學數(shù)學教科書是先講「指數(shù)」,后以反函數(shù)形式引出「對數(shù)」的概念.但在歷史上,恰恰相反,對數(shù)概念不是來自指數(shù),因為當時尚無分指數(shù)及無理指數(shù)的明確概念.布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數(shù)表示對數(shù)的建議.1742年 ,J．威廉（1675-1749）在給G．威廉的《對數(shù)表》所寫的前言中作出指數(shù)可定義對數(shù).而歐拉在他的名著《無窮小 分析尋論》（1748）中明確提出對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù),和現(xiàn)在教科書中的提法一致.
