以知a,b為整數,且a^2+b^2為3的倍數,證明:a與b也是3的倍數.

數學人氣：219 ℃時間：2020-07-02 21:55:40

優(yōu)質解答

用反證法.假設a與b不都是3的倍數.
若a與b其中一個是3的倍數,而另一個不是,設a是3的倍數.由b²=3-a²知b²是3的倍數,知b也是3的倍數,矛盾,故該情況不成立.
若a與b都不是3的倍數,即a和b除以3余1或2,
首先研究形如3k+1和3k+2(k是整數)的數.
(3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1除以3余1,
(3k+2)²=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1除以3余1.
故無論a和b除以3余幾,a²+b²除以3余1+1=2,與題設矛盾.
綜上所述,a和b都是3的倍數.