證明：（1）當(dāng)n=2時，左邊-右邊=

a2+b2

2

?(

a+b

2

)2＝(

a?b

2

)2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*，k＞1）時，不等式成立，即

ak+bk

2

≥(

a+b

2

)k．（4分）
因為a＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
當(dāng)n=k+1時，(

a+b

2

)k+1＝(

a+b

2

)k?

a+b

2

≤

ak+bk

2

?

a+b

2

＝

ak+1+bk+1+akb+abk

4

≤

ak+1+bk+1+ak+1+bk+1

4

＝

ak+1+bk+1

2

．
即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．（9分）
綜合（1），（2）知，對于a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*，不等式

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n總成立．
（11分）