設(shè)a+b＞0a≠b,n∈N,n≥2,用數(shù)學(xué)歸納法證明（a+b/2)^n＜（a^n+b^n)/2

數(shù)學(xué)人氣：410 ℃時(shí)間：2020-05-22 06:15:36

優(yōu)質(zhì)解答

∵a+b＞0a≠b
第一步,當(dāng)n=1時(shí),不等式顯然成立.
第二步,假設(shè)n=k時(shí),不等式成立.即有(a^k+b^k)/2>[(a+b/2)]^k
那么,兩邊同時(shí)乘以（a+b/2),可得
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>（[(a+b/2)]^（k+1）
左邊=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2
>[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1時(shí)成立.
第三步,由一和二可知,n=1時(shí)成立,則n=2時(shí)成立,則n=3時(shí)成立……類推,對(duì)任意n不等式都成立