在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點．（1）求證：MN∥平面PAD．（2）求證：MN⊥CD．（3）若PD與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面PCD．

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點．

（1）求證：MN∥平面PAD．
（2）求證：MN⊥CD．
（3）若PD與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面PCD．

數(shù)學人氣：254 ℃時間：2020-01-31 23:39:40

優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明：取PD的中點E，連接AE、NE，N為PCD的中點，∴NE∥CD，NE=

CD，∵M是AB的中點．底面ABCD是矩形，∴AM∥CD，AM=

CD，∴NE∥AM，NE=AM，AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE，AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD．
（2）證明：PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，∴底面ABCD是矩形，CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴CD⊥AE，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥CD．
（3）證明：PD與平面ABCD所成的角為45°，PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即PD與平面ABCD所成的角，即∠PDA=45°，PA⊥AD，∴PA=AD，∴△PAD為等腰直角三角形，E為PD 中點，∴AE⊥PD，又由（2）知，AE⊥CD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．

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