如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=a．（1）求證：MN∥平面PAD；（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=a．

（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

數(shù)學(xué)人氣：426 ℃時(shí)間：2020-01-31 10:20:26

優(yōu)質(zhì)解答

證明：（1）設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連接AE、NE，
由N為PC的中點(diǎn)知EN

∥

DC，
又ABCD是矩形，∴DC

∥

AB，∴EN

∥

AB
又M是AB的中點(diǎn)，∴EN

∥

AM，
∴AMNE是平行四邊形
∴MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD
∴MN∥平面PAD
證明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．

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如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=a． （1）求證：MN∥平面PAD； （2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

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如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=a．（1）求證：MN∥平面PAD；（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．