在Rt三角形ABC中,角ACB平分線交對邊于點E,交斜邊上的高AD于G,過G作FG平行于CB交AB于F.求證：AE=BF

數(shù)學人氣：593 ℃時間：2019-10-19 08:07:49

優(yōu)質(zhì)解答

因為FG‖CB所以AG⊥FG且∠GFA=∠B
又∠GFA=∠CAB=直角
所以△AGF∽△CAB
所以CB/AF=AC/AG
又因為CE是∠ACB的平分線
所以CB/BE=AC/AE
在RT△CAE中,∠CEA=90°-∠ACE
在RT△CDG中,∠CGD=90°-∠GCD
因為CE是∠ACB的平分線所以∠ACE=∠GCD
所以∠CEA=∠CGD
因為∠CGD和∠AGE是對頂角,所以相等
所以∠CEA=∠AGE
所以△AGE是等腰三角形,所以AG=AE
因為CB/AF=AC/AG（由上面相似三角形得到的等式）
所以CB/AF=AC/AE
又因為CB/BE=AC/AE（由上面角平分線定理得到的等式）
所以AF=BE
所以AF-EF=BE-EF
所以AE=BF