設想在重力作用下,一個物體緩慢從地面升至高度h處.
在有限高度內,重力可視為恒量mg.不隨高度的變化而變化.
因此 重力對物體所做的功為 -mgh.（重力與位移方向相反,所以功為負）
重力屬于保守力,保守力所做的功 + 保守力勢能 = 常量.
因此,重力勢能的表達式為 mgh.（以地面為勢能零點）
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而對一個彈性系統(tǒng),彈性恢復力 F = - kx.
（k為彈性恢復系數(shù),x表示離開平衡位置的距離）.
與重力不同,彈性恢復力不是常量,隨著位移x的變化而變化.
因此 這個題目需要微積分知識的基礎.
距離平衡位置為x時,恢復力為 F = -kx,負號表示恢復力的方向是指向平衡位置.其中k為彈性恢復系數(shù).
從平衡位置 到達x位置,恢復力所做的功為 恢復力與位移乘積 從0到x 的定積分.即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （從0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2
恢復力屬于彈性系統(tǒng)的內力,和重力一樣,也屬于保守力.
保守力所做的功 = 保守勢能變化的負值
以平衡位置為勢能零參考點.因此
彈性勢能 E = -W = kx^2/2
做 F---x 關系曲線.從這條直線的 起點和終點 分別向x軸做垂線.
那么由 這兩條垂線、x軸、F--x曲線 圍成了一個閉合圖形.
這個圖形的面積 就是 力F所做的功 W.
上面講的這段 在中學 接觸過沒?如果沒有的話,那就直接承認.對于知識儲備不足而尚不能證明的理論,先暫且直接承認,這也是常用的學習方法.
對于本題目,
以 彈性力 F = -kx 作為y軸,
以 伸縮量 x 作為 x軸
F--x“曲線”是通過坐標原點的一條直線.
經從該直線的起點和終點向x軸做投影后,得到第四象限的一個三角形.
三角形的面積為
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由于力的方向與位移方向相反（同時也因為是在x軸下方）,所以 F所做的功是面積的負值,即
W = -S = -kx^2/2
而彈性勢能為
E = -W = kx^2/2
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為什么說圖像的面積就是彈簧彈性勢能呢?
彈性勢能的公式是中學階段一個非?！盎尽钡奈锢砉?但在教科書上卻見不到其推導過程.原因就在于其推導過程超出了中學生的知識范圍.
求知欲強的學生 總是希望能知道其推導過程.但是把推導過程給出后,因為知識基礎不夠用,所以看不懂,會產生各種疑問.當這些疑問解決不了的時候,希望不要心急,因為你的知識儲備不足.
簡單回答你的疑問.
因變量F作為自變量x的函數(shù),該曲線下的面積 就是 F所做的功.這是一個數(shù)學結論.
你可以設想,假設 F 是一個常量.那么經過位移 x-x0后,F所做的功就是 F*(x-x0).現(xiàn)在把這個結論數(shù)學化!依然做 F-x函數(shù)圖象.那么圖象是一條與 x 軸平行的直線.該直線距離x軸的距離就是F.因此 功 F(x-x0) 就在該函數(shù)圖象上對應著 一個矩形的面積,而該矩形由從F直線的起點和終點向x軸做投影而形成.
上一段討論中 F 是一個常量.F所做的功的表達式也因此很簡單.而當 函數(shù)圖象不在是與x軸平行時,F所做的功就等于 F關于x的積分.而“積分”這個數(shù)學概念在中學階段還沒有接觸,所以你會很難理解.而在數(shù)學上,“積分”的結果依然是函數(shù)曲線向x軸做投影后所圍成的圖形的面積.