秦朝末年,楚漢相爭(zhēng).一次,韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn).苦戰(zhàn)一場(chǎng),楚軍不敵,敗退回營(yíng),漢軍也死傷四五百人,于是韓信整頓兵馬也返回大本營(yíng).當(dāng)行至一山坡,忽有后軍來(lái)報(bào),說(shuō)有楚軍騎兵追來(lái).只見(jiàn)遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng),殺聲震天.漢軍本來(lái)已十分疲憊,這時(shí)隊(duì)伍大嘩.韓信兵馬到坡頂,見(jiàn)來(lái)敵不足五百騎,便急速點(diǎn)兵迎敵.他命令士兵3人一排,結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排,結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排,結(jié)果又多出2名.韓信馬上向?qū)⑹總冃迹何臆娪?073名勇士,敵人不足五百,我們居高臨下,以眾擊寡,一定能打敗敵人.漢軍本來(lái)就信服自己的統(tǒng)帥,這一來(lái)更相信韓信是“神仙下凡”、“神機(jī)妙算”.于是士氣大振.一時(shí)間旌旗搖動(dòng),鼓聲喧天,漢軍步步進(jìn)逼,楚軍亂作一團(tuán).交戰(zhàn)不久,楚軍大敗而逃.首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù),故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積）,然後再加3,得9948（人）.在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中,有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問(wèn)物幾何?”按照今天的話來(lái)說(shuō)：一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求這個(gè)數(shù).這樣的問(wèn)題,也有人稱(chēng)為“韓信點(diǎn)兵”.它形成了一類(lèi)問(wèn)題,也就是初等數(shù)論中的解同余式.① 有一個(gè)數(shù),除以3余2,除以4余1,問(wèn)這個(gè)數(shù)除以12余幾?除以3余2的數(shù)有：2,5,8,11,14,17,20,23….它們除以12的余數(shù)是：2,5,8,11,2,5,8,11,….除以4余1的數(shù)有：1,5,9,13,17,21,25,29,….它們除以12的余數(shù)是：1,5,9,1,5,9,….一個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中,只有5是共同的,因此這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是5.如果我們把①的問(wèn)題改變一下,不求被12除的余數(shù),而是求這個(gè)數(shù).很明顯,滿足條件的數(shù)是很多的,它是 5＋12×整數(shù),整數(shù)可以取0,1,2,…,無(wú)窮無(wú)盡.事實(shí)上,我們首先找出5后,注意到12是3與4的最小公倍數(shù),再加上12的整數(shù)倍,就都是滿足條件的數(shù).這樣就是把“除以3余2,除以4余1”兩個(gè)條件合并成“除以12余5”一個(gè)條件.《孫子算經(jīng)》提出的問(wèn)題有三個(gè)條件,我們可以先把兩個(gè)條件合并成一個(gè).然后再與第三個(gè)條件合并,就可找到答案.②一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數(shù).先列出除以3余2的數(shù)：2,5,8,11,14,17,20,23,26,…,再列出除以5余3的數(shù)：3,8,13,18,23,28,….這兩列數(shù)中,首先出現(xiàn)的公共數(shù)是8.3與5的最小公倍數(shù)是15.兩個(gè)條件合并成一個(gè)就是8＋15×整數(shù),列出這一串?dāng)?shù)是8,23,38,…,再列出除以7余2的數(shù) 2,9,16,23,30,…,就得出符合題目條件的最小數(shù)是23.事實(shí)上,我們已把題目中三個(gè)條件合并成一個(gè)：被105除余23.那么韓信點(diǎn)的兵在1000-1500之間,應(yīng)該是105×10+23=1073人 中國(guó)有一本數(shù)學(xué)古書(shū)「孫子算經(jīng)」也有類(lèi)似的問(wèn)題：「今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之,剩二,五五數(shù)之,剩三,七七數(shù)之,剩二,問(wèn)物幾何?」 答曰：「二十三」 術(shù)曰：「三三數(shù)之剩二,置一百四十,五五數(shù)之剩三,置六十三,七七數(shù)之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十減之,即得.凡三三數(shù)之剩一,則置七十,五五數(shù)之剩一,則置二十一,七七數(shù)之剩一,則置十五,即得.」 孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考,不過(guò)根據(jù)考證,著作年代不會(huì)在晉朝之后,以這個(gè)考證來(lái)說(shuō)上面這種問(wèn)題的解法,中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早,所以這個(gè)問(wèn)題的推廣及其解法,被稱(chēng)為中國(guó)剩余定理.簡(jiǎn)單扼要總結(jié):1.算兩兩數(shù)之間的能整除數(shù) 2.算三個(gè)數(shù)的能整除數(shù) 3.用1中的三個(gè)整除數(shù)之和減去2中的整除數(shù)之差(有時(shí)候是倍數(shù)) 4計(jì)算結(jié)果即可 韓信帶1500名兵士打仗,戰(zhàn)死四五百人,站3人一排,多出2人；站5人一排,多出4人；站7人一排,多出6人.韓信馬上說(shuō)出人數(shù)：1049 如多一人,即可湊整.幸存人數(shù)應(yīng)在1000~1100人之間,即得出：3乘5乘7乘10減1=1049（人）