1.
令切線的方程為y=kx+c（k≠0）【存在x、y軸截距,故k≠0】,圓C的方程為（x+1）^2+(y-2)^2=2,圓心為（-1,2）,半徑為√2.
圓心到切線的距離為|-k-2+c|/√（k^2+1）=√2,即（k+2-c）^2/(k^2+1)=2 ①
切線在x、y軸上的截距分別為c,-c/k.|c|=|c/k|（k≠0）
⑴當c=0時,解方程①得,c=2+√3或2-√3,即切線為y=（2+√6）x或y=（2-√6）x；
⑵當c≠0時,k=1或-1,
a、當k=1時,解方程①得c=1或5,即切線為y=x+1或y=x+5；
b、當k=-1時,解方程①得c=-1或3,即切線為y=-x-1或y=-x+3；
綜上切線方程為：y=（2+√6）x或y=（2-√6）x或y=x+1或y=x+5或y=-x-1或y=-x+3.
2.
圓C:x^2+y^2+2x-4y+3=0,(x+1)^2+(y-2)^2 =2
圓心Q(-1,2),半徑r^2 =2
|PO|^2 =|PM|^2 =|PQ|^2 -r^2
==> a^2+b^2 =[(a+1)^2+(b-2)^2] -2
點P的軌跡方程：2a-4b+3=0,斜率=1/2
原點O(0,0)到該直線的垂線:2x+y=0,垂足(-3/10,3/5)
使PM取最小值的點P的坐標:(-3/10,3/5)