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  • 如圖,在直角坐標平面內(nèi),直線y=x-1與x軸交于點A,過點C(0,3)的直線l∥x軸,與直線y=x-1交于點D,點P從原點O出發(fā)沿x軸負半軸移動,連接PD,設(shè)點P移動的距離為m. (1)求點A和點D的坐標

    如圖,在直角坐標平面內(nèi),直線y=x-1與x軸交于點A,過點C(0,3)的直線l∥x軸,與直線y=x-1交于點D,點P從原點O出發(fā)沿x軸負半軸移動,連接PD,設(shè)點P移動的距離為m.

    (1)求點A和點D的坐標;
    (2)求△PAD的面積S關(guān)于m的函數(shù)解析式;
    (3)在x軸正半軸上取一點B,使AB=PA,連接BD,若△PBD為直角三角形,求m的值;
    (4)作點O關(guān)于直線PD的對稱點O′,當點O′落在直線l上時,請寫出P點坐標.
    數(shù)學人氣:592 ℃時間:2020-05-13 13:24:58
    優(yōu)質(zhì)解答
    (1)直線y=x-1,令y=0,解得x=1,
    故A點坐標為(1,0),
    因為l∥x軸,且C(0,3),所以D點縱坐標為3,
    把y=3代入y=x-1可得x=4,
    故D點坐標為(4,3);
    (2)由題意可知PA=PO+AO=m+1,
    所以S=
    1
    2
    PA?OC=
    1
    2
    (m+1)×3=
    3
    2
    m+
    3
    2
    ,其中m>0,
    即S關(guān)于m的函數(shù)解析式為:S=
    3
    2
    m+
    3
    2
    (m>0);
    (3)由條件知∠BPD為銳角,故只有點D或點B為直角頂點.
    如圖1,過D作DE⊥x軸,交x軸于點E,則DE=OC=3,OE=CD=4,
    所以AE=OE-OA=4-1=3,

    在Rt△ADE中,由勾股定理可求得AD=3
    2
    ,
    當PD⊥BD時,如圖2.

    因為PA=AB,所以A為PB的中點,
    所以PA=AB=AD=3
    2

    即m+1=3
    2
    ,求得m=3
    2
    -1;
    當PB⊥BD時,如圖3.

    此時OB=CD=4,所以AB=OB-OA=4-1=3,
    因為PA=AB,所以m+1=3,解得m=2,
    綜上知滿足條件的m的值為3
    2
    -1或2;
    (4)如圖4,連接OD,O′P,由題意可知PD為線段OO′的垂直平分線,

    所以O(shè)′D=OD=5,PO′=PO=m,
    又CD=4,所以O(shè)′C=O′D-CD=5-4=1.
    過O′作O′F⊥x軸交x軸于點F,
    則O′F=OC=3,OF=O′C=1,所以PF=PO-FO=m-1,
    在Rt△PFO′中,由勾股定理可得:(m-1)2+32=m2
    解得m=5,所以P點的坐標為(-5,0).
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