如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D是線段BC的中點(diǎn)．（1）試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線DE是⊙O的切線．

如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=4

，D是線段BC的中點(diǎn)．

（1）試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線DE是⊙O的切線．

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優(yōu)質(zhì)解答

（1）點(diǎn)D在⊙O上；理由如下：

設(shè)⊙O與BC交于點(diǎn)M，連接AM，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
在直角△ABM中，BM=AB?cos∠ABC=4×

，
∵BC=4

，
∴M是BC的中點(diǎn)，則M與D重合．
∴點(diǎn)D在⊙O上；
（2）證明：
連接OD，
∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴DO是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切線．

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