∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再證充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=(a-
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∴a+b-1=0，即a+b=1
綜上所述：a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0
已知ab≠0，求證：a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0．
已知ab≠0，求證：a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0．
數(shù)學(xué)人氣：245 ℃時(shí)間：2020-04-03 18:34:45
優(yōu)質(zhì)解答
證明：先證必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再證充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=(a-
b)2+
b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
綜上所述：a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再證充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=(a-
∴a+b-1=0，即a+b=1
綜上所述：a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0
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