簡(jiǎn)潔版：
因?yàn)閒(X)定義在R上,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),
用5-x代替x得f(15-x)=f(5-x)+f(x)
所以f(10+x)=f(x)+f(5-x)=f(15-x)對(duì)于所有的x屬于R都成立
再用x-10代替等式中的x 得到f(x)=f(25-x)
再用x-25代替等式中的x 可得f(x-25)=f(50-x),
所以f(x)=f(25-x)=-f(x-25)=-f(50-x)=f(x-50)
我們可得這個(gè)函數(shù)的周期是50.
所以f(2010)=f(40*50+10)=f(10).
又因?yàn)閒(10+x)=f(x)+f(5-x)
令x=0,可得f(10)=f(0)+f(5)=f(5) （f(0)=0因?yàn)閒(X)是定義在R上的奇函數(shù)）
令x=-5,可得f(5)=f(-5)+f(10),所以f(10)=2f(5)
所以f(2010)=f(10)=f(5)=0.
詳細(xì)過(guò)程版：
因?yàn)閒(X)定義在R上,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),
令x=5-y,f(10+5-y)=f(5-y)+f(y)對(duì)于所以的y屬于R都成立（）
在將y用x來(lái)代替,所以f(15-x)=f(5-x)+f(x)對(duì)于所有的x屬于R都成立 （這里有點(diǎn)不好理解）
所以f(10+x)=f(x)+f(5-x)=f(15-x)對(duì)于所有的x屬于R都成立
再在f(10+x)=f(15-x)中用x-10代替等式中的x （省略了通過(guò)y中轉(zhuǎn)這一步）
所以得到f(x)=f(25-x)
在用x-25代替等式中的x
可得f(x-25)=f(50-x)
又因?yàn)閒(X)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x-25)=-f(25-x)和f(50-x)=-f(x-50)
所以f(25-x)=f(x-50)
所以f(x-50)=f(x).
我們可得這個(gè)函數(shù)的周期是50.
所以f(2010)=f(40*50+10)=f(10).
又因?yàn)閒(10+x)=f(x)+f(5-x)
令x=0,可得f(10)=f(0)+f(5)
因?yàn)閒(X)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,所以f(10)=f(5)
令x=-5,可得f(5)=f(-5)+f(10),所以f(10)=f(5)-f(-5)=f(5)+f(5)=2f(5)
所以f(5)=2f(5)
所以f(5)=0.
所以f(10)=0
所以f(2010)=0.
若對(duì)我的問(wèn)題有任何疑問(wèn),可以使用百度HI我~
我一定會(huì)盡快回復(fù)的!周期應(yīng)該還可以繼續(xù)化簡(jiǎn)吧，聽老師講用-5-x代換x,可以推出f(5-x)=f(-5-x)+f(x+10),f(X)=f(x+5),T=5.像這種賦值求周期，有沒有快捷的方法，是否可以從中間量突破？謝謝！你說(shuō)的對(duì)，我的方法確實(shí)不如你的老師說(shuō)的方法好，實(shí)在對(duì)不起了?？梢杂?5-x代換x，得到f(5-x)=f(-5-x)+f(10+x),所以f(10+x)=f(5-x)-f(-5-x)=f(x)+f(5-x)所以f(x)=-f(-5-x)=f（5+x）所以T=5.再次道歉。這是一道好題，如果我遇到這種填空或者選擇題時(shí)，我會(huì)先求出f（5），f（10），然后基本就可以猜出他的周期。如果是一般大題的話，關(guān)鍵在于為什么選擇用-5-x代換x，因?yàn)檫@樣代換之后，前后有兩個(gè)式子是一樣的，分別是f(10+x)和f(5-x)，所以可以得到抵消，下次若再遇上類似的題目，你也可以用這種方法去湊。這樣說(shuō)，明白了么？