首先,你得知道集合的這個關(guān)系式：
n(X) = 2^|X|；
那么,A、B、C的關(guān)系就可作如下轉(zhuǎn)化：
n(A) + n(B) + n(C) = n(A∪B∪C)；
2^|A| + 2^|B| + 2^|C| = 2^|A∪B∪C|；
將條件 |A| = |B| = 100 代入上式,得：
2^100 + 2^100 + 2^|C| = 2^101 + 2^|C| = 2^|A∪B∪C|；
現(xiàn)在,就得用到冪運算的性質(zhì)了：
上式中,集合的元素個數(shù)肯定是整數(shù)；
而【2 個底數(shù)為 2 的整數(shù)次冪相加,結(jié)果是另一個底數(shù)為 2 的整數(shù)次冪】；
這樣的等式,只有一種可能：
【兩個加數(shù)的次冪相等】；
即：|C| = 101；此時,有：
2^101 + 2^101 = 2^102 = 2^|A∪B∪C|；
所以：|A∪B∪C| = 102；
下面,就是集合的并、交問題了：
首先,A、B、C 至少兩兩相交,否則 A∪B∪C 的元素肯定超過 102 個；不妨先考慮 A、B 兩個集合：已知 A、B 各含 100 個元素,那么我們就可以求出它們的“交集”與“并集”的元素個數(shù)的關(guān)系了：
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 200 - |A∩B|；
還有它們的取值范圍：
0 ≤ |A∩B| ≤ 100；
100 ≤ |A∪B| ≤ 200；
本題中：
|A∪B| ≤ 102；
所以：
|A∩B| 的范圍就被限定為：100,99,98 這 3 個值；
再把 C 加進來就行了；對 C 的要求就是：
|A∪B∪C| = 102；————————————————①
可分別討論：
（1）|A∩B| = 100；此時 |A∪B| = 100；根據(jù)①可知：
C 必然恰好有 2 個元素不在 A∪B 中,有 99 個在 A∪B 中；
而此時 A∪B = A∩B,即：A∪B 中的【100】個元素全都在 A∩B 中,那么：C 中的那【99】個元素,必然全都在 A∩B 中；所以：
|A∩B∩C| = 99；
（2）|A∩B| = 99；此時 |A∪B| = 101；根據(jù)①可知：
C 必然恰好有 1 個元素不在 A∪B 中,有 100 個元素在 A∪B 中；
在 A∪B 中,有【99】個在 A∩B 中,有【2】個不在其中；那么：C 的這【100】個元素,在分配到 A∪B 中時,根據(jù)有多少個分到 A∩B 中就有多種可能：
99 + 1：|A∩B∩C| = 99；
98 + 2：|A∩B∩C| = 98；
（3）|A∩B| = 98；此時 |A∪B| = 102；根據(jù)①可知：
C 的 101 元素必然全部都在 A∪B 中；
而在 A∪B 中,有【98】個在 A∩B 中,有【4】個不在其中；同（2）：C 的這【101】個元素,也有多種可能：
98 + 3：|A∩B∩C| = 98；
97 + 4：|A∩B∩C| = 97；
綜合（1）、（2）、（3）可得 |A∩B∩C| 的最小值為：97.