黎曼函數(shù)定義;　R(x)=0,如果x=0,1或(0,1)內(nèi)的無理數(shù)； 　　R(x)=1/q,如果x=p/q（p/q為既約真分數(shù)）,即x為(0,1)內(nèi)的有理數(shù).
定理：黎曼函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的極限處處為0.　　證明：對任意x0∈(0,1),任給正數(shù)ε,考慮除x0以外所有黎曼函數(shù)的函數(shù)值大于等于ε的點,因為黎曼函數(shù)的正數(shù)值都是1/q的形式（q∈N+）,且對每個q,函數(shù)值等于1/q的點都是有限的,所以除x0以外所有函數(shù)值大于等于ε的點也是有限的.設(shè)這些點,連同0、1,與x0的最小距離為δ,則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函數(shù)值均在[0,ε)中,從而黎曼函數(shù)在x->x0時的極限為0.　　推論：黎曼函數(shù)在(0,1)內(nèi)的無理點處處連續(xù),有理點處處不連續(xù).
“對x=0,只需考慮有極限,證明完全一樣.”