我想對這個結(jié)論的證明你肯定看到了,并且結(jié)論是這樣的.你感覺矛盾是直觀上不接受.
盡管有理點(diǎn)在這個區(qū)間上稠密,但有理點(diǎn)的取值能取大的很少（大小只是相對.實(shí)際上,給定任何一個小于1的數(shù),能取比這個數(shù)大的有理點(diǎn)都是有限個）,【這些大的數(shù)值是不在這個區(qū)間上稠密的】.任意給定一個小于1的數(shù),在這個區(qū)間任何子區(qū)間上都能找到一個更小的子區(qū)間,在這個小的子區(qū)間上,盡管有有理數(shù),但有理點(diǎn)的函數(shù)值能比給定的數(shù)小.所以極限處處為0不難理解.
這樣,在無理點(diǎn)的任何鄰域盡管有無窮多個有理點(diǎn),但數(shù)值大的不多（給定一個小于1的數(shù),只有有限個有理點(diǎn)的數(shù)值能比這個數(shù)大）,剩下的無窮多個有理點(diǎn)函數(shù)值都很小,和0差不多.因此在無理點(diǎn)連續(xù)很正常.
對有理點(diǎn)處處不連續(xù),因?yàn)閷潭ǖ挠欣睃c(diǎn)它的函數(shù)值是確定的值,而它的任何鄰域里總有無理點(diǎn).還有函數(shù)值比這點(diǎn)的函數(shù)值更小的無窮多個有理點(diǎn),這樣它和附近的函數(shù)值差別就比較大.
連續(xù)的本質(zhì)就是兩點(diǎn)距離很近,則函數(shù)值就差不多.在有理點(diǎn)做不得這一點(diǎn).
這是為的直觀理解,不知是否正確,歡迎討論!