首先重申一下定理吧：
若函數(shù)ƒ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)可積,則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點ζ,使
∫(a→b) ƒ(x) dx = ƒ(ζ)(b - a),ζ∈(a,b)
或 ∫(a→b) ƒ(x)g(x) dx = ƒ(ζ)∫(a→b) g(x) dx
同樣地對于∫(n→n + a) xsin(1/x) dx運用積分中值定理
函數(shù)xsin(1/x)在閉區(qū)間[n,n + a]上連續(xù)可積,則存在一點ζ∈[n,n + a]
使得∫(n→n + a) xsin(1/x) dx = ζsin(1/ζ) • [(n + a) - n] = aζsin(1/ζ)
于是lim(n→∞) ∫(n→n + a) xsin(1/x) dx = a • lim(n→∞) sin(1/ζ)/(1/ζ) = a • 1 = a
注意這里的ζ,是n ≤ ζ ≤ n + a,當n趨向無窮時,ζ也趨向無窮
所以lim(n→∞) sin(1/ζ)/(1/ζ) = 1,相當于重要定理lim(x→0) (sinx)/x = 1