數(shù)學(xué)概念是構(gòu)筑數(shù)學(xué)理論的基石,是數(shù)學(xué)思想方法的載體.高等數(shù)學(xué)是由概念—性質(zhì)（公式）—范例組成的數(shù)學(xué)系統(tǒng),概念是源頭,性質(zhì)（公式）都是由它衍生出來的,因而高等數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)體系中顯得極其重要.高等數(shù)學(xué)概念與初等數(shù)學(xué)概念相比更加抽象,往往都以運(yùn)動(dòng)的面貌出現(xiàn),是動(dòng)態(tài)的產(chǎn)物,因而高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)者往往需要做出思維模式上的調(diào)整.這就要求我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)概念教學(xué)過程中不僅要重視概念的實(shí)際背景與學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),更要注重學(xué)生在概念形成中的心理過程,解決抽象的高等數(shù)學(xué)概念給他們帶來的心理困惑. 　　在教師指導(dǎo)下數(shù)學(xué)概念獲得的過程一般分為以下六個(gè)步驟［１］： 　?。?）觀察一組實(shí)例,從中抽取共性； 　?。?）下定義,分析含義,了解概念的本質(zhì)屬性； 　?。?）舉正、反例,弄清該概念的內(nèi)涵和外延； 　?。?）將該概念與其他有關(guān)概念進(jìn)行聯(lián)系和分化； 　?。?）重新描述概念的意義； 　?。?）運(yùn)用概念,使之變成思維中的具體. 　　通過對(duì)上六個(gè)步驟心理過程的分析,我們可以把學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成概括為兩個(gè)心理階段：一是從正確完整的概念意象抽象出概念的規(guī)定（這里的概念意象也就是在學(xué)生的頭腦中和所要學(xué)習(xí)的概念名稱相聯(lián)系的思維圖像以及描述它們所有特征的性質(zhì)）；二是使概念抽象的規(guī)定在思維過程中導(dǎo)致具體的再現(xiàn).因而教師在概念教學(xué)中主要把握就是這兩個(gè)階段的基本要求：如何讓學(xué)生產(chǎn)生正確完整的高等數(shù)學(xué)的概念意象,并從中抽象出高等數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵,以及如何使這一概念成為學(xué)生思維中的具體,即將概念的形象化. 　　1.從正確完整的概念意象到抽象的數(shù)學(xué)概念 　　一般常識(shí)性的概念的形成都需要一定數(shù)量的經(jīng)驗(yàn),從對(duì)具有某種共同性質(zhì)的實(shí)例中概括、抽象,然后再分類過程中獲得.數(shù)學(xué)概念更加抽象,但仍然是一種處理實(shí)際思維的方法.沒有實(shí)際思維材料,就沒有思維運(yùn)算的對(duì)象,運(yùn)算沒有對(duì)象,抽象就沒有基礎(chǔ).從心理本質(zhì)上講,數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中,仍應(yīng)以實(shí)例為出發(fā)點(diǎn),這是運(yùn)算思維的要求.所以數(shù)學(xué)概念應(yīng)通過恰當(dāng)?shù)膶?shí)例進(jìn)行組織整理、分析歸納、分類抽象來教學(xué).實(shí)際上,這些引例在概念學(xué)習(xí)之前不僅介紹了基本概念產(chǎn)生的客觀背景及其在解決實(shí)際問題中的意義,也有利于教師后面對(duì)所學(xué)概念給出幾何意義、物理解釋以及其他聯(lián)系實(shí)際的解釋,還讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念不是憑空設(shè)想出來的,而是來源于實(shí)際,根據(jù)實(shí)際需要建立的.更重要的是從這些引例中得到的概念意象——這些在學(xué)生的頭腦中具有的和所要學(xué)習(xí)的概念名稱相聯(lián)系的思維圖像以及描述它們所有特征的性質(zhì),是抽象得出所要學(xué)習(xí)的概念的基礎(chǔ)前提. 　　這里我們要強(qiáng)調(diào)注意在學(xué)生頭腦中所形成的概念意象的正確性和完整性.不正確和不全面的概念意象可以影響學(xué)生頭腦中形成的數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確性和全面性. 　　在微分學(xué)中學(xué)習(xí)函數(shù)圖形的切線這一概念時(shí),我們給出了函數(shù)的圖像,結(jié)果發(fā)現(xiàn)：80%的學(xué)生正確地認(rèn)為可以在原點(diǎn)畫出一條切線,但是能正確畫出切線的學(xué)生數(shù)竟低于20%.調(diào)查表明,90%以上學(xué)生反思在他們形成切線概念的概念意象中,函數(shù)圖像除了極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)外,其他的點(diǎn)不存在水平的切線. 　　另外不恰當(dāng)?shù)母拍钜庀筮€會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生頭腦中形式化理論的發(fā)展.以極限這一概念為例,Robert（1982）分析過一系列學(xué)生用于處理極限問題的思維模型［２］,這些模型被看作是概念意象的很好的例證.Cornu（1981）和Sierpinska（1985）曾把學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念的演變作為一個(gè)克服障礙的過程,并提出了五類障礙,其中最重要的就是恐懼無限,其結(jié)果就是不少學(xué)生不把無限作為一個(gè)專門的數(shù)學(xué)運(yùn)算,或干脆使用不完全歸納法求得極限.Wheeler和Martin（1988）也曾研究得出,學(xué)生關(guān)于無限概念和他們頭腦中所蘊(yùn)含的概念意象明顯不一致［２］. 　　2.從抽象的規(guī)定到思維中的具體 　　從正確完整的概念意象抽象得到的數(shù)學(xué)概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的第一個(gè)重要的心理過程,概念是否得到正確掌握還要檢驗(yàn)概念的抽象規(guī)定是否能變成學(xué)生思維中的具體,也就是將概念的形象化能力. 　　比如在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微積分的概念時(shí),學(xué)生往往有一種強(qiáng)烈的心理傾向,就是將這些內(nèi)容化為代數(shù)運(yùn)算,而避免圖像和幾何意象,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微積分的“大運(yùn)動(dòng)量”的強(qiáng)化運(yùn)算也使得學(xué)生頭腦中形成的關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微積分的概念缺乏形象化,影響對(duì)數(shù)學(xué)概念的真正理解和運(yùn)用. 　　例如討論f(x,y)=2x+4y+y ( +x )的可微性時(shí),90%以上的學(xué)生立刻計(jì)算f的偏導(dǎo)數(shù),而不是觀察表達(dá)式的結(jié)構(gòu).其原因就是學(xué)生在一個(gè)純粹算法的水平上理解了微分的概念,并沒有把微分理解為逼近,也沒有把它作為函數(shù). 　　又如學(xué)生在學(xué)習(xí)積分時(shí),往往是把積分計(jì)算作為求原函數(shù),背誦記憶積分公式.他們能很熟練地寫出某個(gè)函數(shù)的原函數(shù),但讓他們解決下列一個(gè)問題時(shí),幾乎沒有學(xué)生認(rèn)識(shí)到這是個(gè)典型的積分問題.所舉例的問題是這樣的：求放在一條直線上的一根均勻的給定長(zhǎng)度的細(xì)棍與位于該直線上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的引力. 　　產(chǎn)生這些結(jié)果的原因有兩個(gè)：由于對(duì)函數(shù)概念理解不全面,學(xué)生不能把微分和積分看作是函數(shù)；以及微分和積分與他們頭腦中的函數(shù)的意象不一致.歸根到底就是學(xué)生對(duì)函數(shù)、微分、積分等這些概念的形象化的缺乏,使得這些概念抽象的規(guī)定不能轉(zhuǎn)化為思維中的具體.