這個不是推導出來的,是分兩步來的:
首先證明|λE-A|是一個多項式,最高項是n次的.這只需要按照行列式的定義展開就行了.
第二步,證明各次的前邊系數(shù)有你給的那個規(guī)律.
我們知道n次多項式在復數(shù)域內一定有n個根,這是復數(shù)基本定理.那么|λE-A|這個n次多項式在復數(shù)域內一定可以因式分解成n個因子的乘積形式
|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2).(λ-λn),其中λ1.λn就叫特征多項式的特征值.
把這個多項式|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2).(λ-λn),展開和你給的系數(shù)正好對應相等.
例如,常數(shù)項為(-1)^n|A|,而|A|正是λ1λ2.λn,又例如n-1次項 - (a11 + a22 + … + ann),而由于相似矩陣對跡tra的相似不變性這個正好等于 - (λ1 + λ2 + … + λn).
綜上第一步是按照行列式定義展開成多項式形式,發(fā)現(xiàn)他是n次多項式(系數(shù)是什么還不清楚).
第二步根據(jù)代數(shù)基本定理寫成因式分解形式|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2).(λ-λn)再展開,然后根據(jù)特征值具有的性質證明你給的式子正確.
落下了點東西,第一步還要說明最高項次數(shù)為1(首一),因為矩陣中含有λ的元素都在對角線上,按照按行按列展開(行列式的拉普拉斯展開)只有對角線乘積這一個是λ的n次的,其余展開項都比他次數(shù)小,所以最高項一定是λ^n無他