線性代數(shù)學習心得
文/小潘
各位學友好!
首先讓我們分析一下線性代數(shù)考試卷（本人以1999年上半年和下半年為例）
我個人讓為,先做計算題,填空題,然后證明題,選擇題等（一定要堅持先易后難的原則,一定要.旁邊有某些同志說：“這些都是屁話,我們都知的快轉(zhuǎn)入正題吧!”）
把選擇題第8題拉出來讓大家看看
n(n>1)階實對矩陣A是正定矩陣的充份必要條件是（）
A．A是正定二次型f(x)=x(A)x的矩陣
B．A是各階順序主子式均大于等于零（書本的p231定5.9知,大于零就可以了,明顯也是錯的）
C．二次型f(x)=xTAx的負慣性指數(shù)為零
D．存在n階矩陣C,使得A=CTC（由書本的P230知,存在非奇異N階矩陣C,使A=CTC)很明顯,這個選擇是錯了）
各位學友在做選擇題時要仔細呀!
證明題
先講1999年下半年
設(shè)A,B,C均為n階矩陣,若ABC=I,這里I為單位矩陣,求證：B為可逆矩陣,且寫出的逆矩陣?
己知ABC=I,|ABC|=|I|不等于零,|A|*|B|*|C|不等于零,得出|B|不等于零.所以B是可逆矩陣.
求其逆矩陣,ABC=I,兩邊同時右乘C-1得AB=C-1,接下來左乘以A-1得B=A-1C-1,最后BC=A-1,BCA=I,于是得B-1=CA(不知各位學友有沒有更簡便的方法謝謝告之）
對這題做后的心得,本人認為一定要記得,a逆陣可逆的充分必要條件是行列式|a|不等零（切記,還有如ab=i,那么a-1=b）
對了還有,在求解逆矩陣,最簡單方法是用初等行變換
公式法嗎!容易出錯,只適合求解比較特殊的
下面這些是相關(guān)的證明題
設(shè)B矩陣可逆,A矩陣與B矩陣同階.且滿足A2+AB+B2=O,證明A和A+B都是可逆矩陣?（相信大家都能做出）
己知i+ab可逆,試證I+BA也可逆?
接下來看看1999年上半年的
設(shè)n階方陣A與B相似,證明：A和B有相同的特征多項式?
應(yīng)搞清楚下面的概念
什么是特征多項式呢（1）
什么是特征值呢（2）
什么還有特征向量（3）
什么是相似矩陣（4）
λI-A稱為A的特征矩陣；|λI-A|稱為A的特征多項式；|λI-A|=0稱為A的特征矩陣,而由些求出的全部根,即為A的全部特征值.
對每一個求出特征值λ,求出齊次方程組(λI-A)x=o的基礎(chǔ)解是&1,&2,&3...&s,則k1&1+k2&2+...ks&s即是A對應(yīng)于 λ的全部特征向量（其中,k1...ks不全為零）
相似矩陣：設(shè)A,B都是n階方陣,若存在n階可逆陣p,使得p-1ap=b,則稱A相似于B,記為A~B(相擬矩陣有相同的行列式,相同的秩,相同的特征值）
我覺得有這么一題使終我還是一知半解的,拉出來讓大家看看：
設(shè)A為4階方陣,A*為A的伴隨矩陣,若|A|=3,則|A*|=?,|2A*|=?
這題答案是27,432
怎么算的呢?這個具體我也不太清楚,我是用自己的方法,|A|N-1=|A*|,這個N代表多少階,如是4階那么3^3=27,后面那個,切記：把2提出行列式以外,看A是幾階行列式,4階就提4次,2^4*3^3=432(可能書上不是這樣的,我只是根據(jù)其習題答案推論出來的）
應(yīng)注意的問題：區(qū)為行列式和矩陣之間的區(qū)別,特別是用一個不為零的數(shù)K乘以行列式或矩陣,前者只是乘以某一行或列,后者則是每一個元素都要乘!
很容易搞不零清的：線性相關(guān)或無關(guān)和什么情況下線性方程組有解或無解,還有什么極大無關(guān)組,基礎(chǔ)解系,特征值,多項式,特征向量,相似矩陣有哪些性質(zhì),正交矩陣的充分心要條件,二次型化成標準型.