(b,p)=1
p|(a-b)
所以(a,p)=1
且有x, (x,p)=1使bx=M*p^k+1
p^k||(a-b)
所以p^k||(a-b)x=ax-bx=ax-M*p^k-1
p^k|ax-1令ax=N*p^k+1, 顯然p不|(N-M)
x^n(a^n-b^n)=(ax)^n-(bx)^n=(Np^k+1)^n-(Mp^k+1)^n
=.[Cni(N^i-M^i)p^(ik)].i=1~n
分析每項中p的指數(shù)最小值,應(yīng)該就是i＝1時Cn1(N-M)p^k, 顯然p^(k+l)||Cn1(N-M)p^k
下面只需要證明i>1的每項中p的指數(shù)大于l+k
i>1時Cni(N^i-M^i)p^(ik)中Cni=n!/i!(n-i)!,
設(shè)n!中p的指數(shù)為A,i!中為B, (n-i)!中為C則
A＝求和{[n/p^j]j=1~max}
B＝求和{[i/p^j]j=1~max}
C＝求和{[(n-i)/p^j]j=1~max}
顯然各求和的分項無條件地有：A分項　》＝B分項+C分項.
如果 (i,p)=1時
當(dāng)j=1~l,　[n/p^j]=[i/p^j]+[(n-i)/p^j] +1-----------整數(shù)被拆分為兩個非整數(shù),整數(shù)部分減少1
則A-B-C>＝l　　　p^(l+k) k[Q(rp-1)-1]-r >= k[2Qr-1]-r >=kQr-r >=0
如果i=Q*p^r r>=l 顯然r