已知i是數(shù)學單位,若復數(shù)z1=cosα+isinα.z2=cosβ+isinβ滿足|z1－z2|=2倍根號5/5.(1)求cos(α－β)的值 (2)若－π/2＜β＜0＜α＜2/π,且sinβ=－5/13,求sinα的值

數(shù)學人氣：721 ℃時間：2020-07-14 12:44:12

優(yōu)質(zhì)解答

(1)|z1－z2|=2√5/5 帶入復數(shù),整理有√【（cosα-cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα-sinβ）（sinα-sinβ）】=2√5/5
利用cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) 顯然有cos(α-β)=3/5
(2)－π/2＜β＜0＜α＜2/π 則有α-β∈(0,0.5π) (因為cos(α-β)=3/5>0)
所以α=β+arccos3/5
sinβ=－5/13 則有cosβ=12/13
所以sinα=sin(β+arccos3/5)=0.6*sinβ+0.4*cosβ=33/65
備注：解題中使用了三角函數(shù)sin(x+y),cos(x-y)的展開式