解；
面積不變可得：三個(gè)小面積 的和 等 大三角形的面積
S=(1/2)*(PD+PE+PF)*2 = (1/2)*2*2*cos60°
PD+PE+PF = √3
2,
PD²+PE²+PF² 的最小是,就是三者相等的的時(shí)候：
(PD²+PE²+PF² )min = 3 * (√3/3)² = 1
3,
面積的最大值,就是三邊相當(dāng)?shù)臅r(shí)候,就是點(diǎn)P在三角形內(nèi)最中心.
這時(shí)候,△DEF的邊長都是1.
Smax= (1/2)* 1*1*cos60°
Smax= √3、4第一問你用的方法是9年級(jí)下學(xué)期的內(nèi)容，但要用上學(xué)期之前所學(xué)的內(nèi)容解答，直接用面積法就可以證明三邊之和等于等邊三角形的高，也就是根號(hào)3，還有你的第二問不要用高中的不等式證明。舉個(gè)例子，a+b =2 那么a2+b2的最小值是多少呢？a2+b2=（a+b）2 - 2ab =4 - 2ab = 4 - 2a(2-a)=2a2 - 4a +4=2(a-1)2 +2就是說當(dāng)a=1的時(shí)候，a2+b2最小，這時(shí)候b的值呢？是不是也是1？那就說明ab相等的時(shí)候，a2+b2 最小。這是一個(gè)結(jié)論，就是a+b+c+...+n=P，如果P是個(gè)定值的話，那么a2+b2+c2+...+n2的最小是，就是當(dāng)a=b=c=...=n的時(shí)候。每個(gè)值都想等才最小。這是一個(gè)結(jié)論，所以第二問的答案就是這樣來的。第三問的證明，還是看第二問，a2+b2=（a+b）2 - 2ab 這時(shí)候求的是a2+b2 的最小值，那么（a+b）2 =4是不是個(gè)定值？既然是定值，那么求的2ab是不是就是最大值，只有2ab最大的時(shí)候，a2+b2 才最小啊，所以求a2+b2最小的時(shí)候，就間接求了ab的最大值。那么為什么求ab的最大值呢，設(shè)三角形ab邊的夾角是α這個(gè)是和面積相關(guān)的，面積S=（1/2）*a*b*cosα，這個(gè)面積可以用三種表示S=（1/2）*a*c*cosβ，S=（1/2）b*c*cosγ，是不是三種表示求的都是一個(gè)三角形DEF的面積，那么相加，就是三倍的面積。這時(shí)候三倍面積最小，也是一個(gè)面積最小。三個(gè)面積表達(dá)式相加的時(shí)候，什么情況下最??？當(dāng)然是等邊三角形的時(shí)候了。所以有了第三問的結(jié)論。