高中數(shù)學(xué)解題小結(jié)大匯總
熟悉這些解題小結(jié)論,啟迪解題思路、探求解題佳徑,總結(jié)解題方法,防止解題易誤點的產(chǎn)生,對提升高考數(shù)學(xué)成績將會起到立竿見影的效果.
一、集合與簡易邏輯
1.集合的元素具有無序性和互異性.
2.對集合 , 時,你是否注意到“極端”情況： 或 ；求集合的子集時是否注意到 是任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集.
　 3.對于含有 個元素的有限集合 ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為
4.“交的補等于補的并,即 ”；“并的補等于補的交,即 ”.
5.判斷命題的真假
關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意：“不‘或’即‘且’,不‘且’即‘或’”.
6.“或命題”的真假特點是“一真即真,要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假,要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”.
7.四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”.
原命題等價于逆否命題,但原命題與逆命題、否命題都不等價.反證法分為三步：假設(shè)、推矛、得果.
注意：命題的否定是“命題的非命題,也就是‘條件不變,僅否定結(jié)論’所得命題”,但否命題是“既否定原命題的條件作為條件,又否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論的所得命題” .
8.充要條件
二、函　數(shù)
1.指數(shù)式、對數(shù)式,
, ,
,.
, , , , ,
,. .
2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合 中的元素必有像,但第二個集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的像有且僅有下一個,但 中元素的原像可能沒有,也可任意個）；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”,其中“值域是映射中像集 的子集”.
(2)函數(shù)圖像與 軸垂線至多一個公共點,但與 軸垂線的公共點可能沒有,也可任意個.
(3)函數(shù)圖像一定是坐標系中的曲線,但坐標系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.
(4)原函數(shù)與反函數(shù)有兩個“交叉關(guān)系”：自變量與因變量、定義域與值域.求一個函數(shù)的反函數(shù),分三步：逆解、交換、定域（確定原函數(shù)的值域,并作為反函數(shù)的定義域）.
注意：① , , ,
但 .
②函數(shù) 的反函數(shù)是 ,而不是 .
3.單調(diào)性和奇偶性
(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同.
偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反.
單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)和原函數(shù)有相同的性；如果奇函數(shù)有反函數(shù),那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).
注意：（1）確定函數(shù)的奇偶性,務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.　
對于偶函數(shù)而言有： .
（2）若奇函數(shù)定義域中有0,則必有 .即 的定義域時, 是 為奇函數(shù)的必要非充分條件.
（3）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間,在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.
（4）函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的一個充分非必要條件.
(5)定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù),都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”.
(6)函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的充分非必要條件,奇函數(shù)可能反函數(shù),但偶函數(shù)只有 有反函數(shù)；既奇又偶函數(shù)有無窮多個（ ,定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集）.
(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點是：“同性得增,增必同性；異性得減,減必異性”.
復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外”.
復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化.（即復(fù)合有意義）
4.對稱性與周期性（以下結(jié)論要消化吸收,不可強記）
(1)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 （ 軸）對稱.
推廣一：如果函數(shù) 對于一切 ,都有 成立,那么 的圖像關(guān)于直線 （由“ 和的一半 確定”）對稱.
推廣二：函數(shù) , 的圖像關(guān)于直線 （由 確定）對稱.
(2)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 （ 軸）對稱.
推廣：函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱（由“ 和的一半 確定”）.
(3)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于坐標原點中心對稱.
推廣：函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于點 中心對稱.
(4)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱.
推廣：曲線 關(guān)于直線 的對稱曲線是 ；
曲線 關(guān)于直線 的對稱曲線是 .
(5)曲線 繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) ,所得曲線是 （逆時針橫變再交換）.
特別： 繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) ,得 ,若 有反函數(shù) ,則得 .
曲線 繞原點順時針旋轉(zhuǎn) ,所得曲線是 （順時針縱變再交換）.
特別： 繞原點順時針旋轉(zhuǎn) ,得 ,若 有反函數(shù) ,則得 .
(6)類比“三角函數(shù)圖像”得：
若 圖像有兩條對稱軸 ,則 必是周期函數(shù),且一周期為 .
若 圖像有兩個對稱中心 ,則 是周期函數(shù),且一周期為 .
如果函數(shù) 的圖像有下一個對稱中心 和一條對稱軸 ,則函數(shù) 必是周期函數(shù),且一周期為 .
　如果 是R上的周期函數(shù),且一個周期為 ,那么 .
　特別：若 恒成立,則 .
若 恒成立,則 .若 恒成立,則 .
如果 是周期函數(shù),那么 的定義域“無界”.
　5.圖像變換
(1)函數(shù)圖像的平移和伸縮變換應(yīng)注意哪些問題?
函數(shù) 的圖像按向量 平移后,得函數(shù) 的圖像.
(2)函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中,圖像的特殊點、特殊線也作相應(yīng)的變換.
(3)圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)與常見函數(shù)（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“魚鉤函數(shù) ”及函數(shù) 等）相互轉(zhuǎn)化.
注意：①形如 的函數(shù),不一定是二次函數(shù).
②應(yīng)特別重視“二次三項式”、“二次方程”、“二次函數(shù)”、“二次曲線”之間的特別聯(lián)系.
③形如 的圖像是等軸雙曲線,雙曲線兩漸近線分別直線 (由分母為零確定)、直線 (由分子、分母中 的系數(shù)確定),雙曲線的中心是點 .
三、數(shù)　　列
1.數(shù)列的通項、數(shù)列項的項數(shù),遞推公式與遞推數(shù)列,數(shù)列的通項與數(shù)列的前 項和公式的關(guān)系： (必要時請分類討論).
注意： ；
.
2.等差數(shù)列 中：
（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.
（2）； .
(3) 、 也成等差數(shù)列. (4)兩等差數(shù)列對應(yīng)項和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.
(5) 仍成等差數(shù)列.
（6） , , ,
, .
(7) ； ； .
(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前 項和的最大值是所有非負項之和；
“首負”的遞增等差數(shù)列中,前 項和的最小值是所有非正項之和；
(9)有限等差數(shù)列中,奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系,由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項數(shù)為偶數(shù),則“偶數(shù)項和”－“奇數(shù)項和”＝總項數(shù)的一半與其公差的積；若總項數(shù)為奇數(shù),則“奇數(shù)項和”－“偶數(shù)項和”＝此數(shù)列的中項.
（10）兩數(shù)的等差中項惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時,常考慮選用“中項關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.
(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法(也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式).
3.等比數(shù)列 中：
（1）等比數(shù)列的符號特征(全正或全負或一正一負),等比數(shù)列的首項、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性.
（1）；.
(3)、 、 成等比數(shù)列； 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列.
(4)兩等比數(shù)列對應(yīng)項積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.
(5) 成等比數(shù)列.
（6） .
　特別： .
(7).
(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中,前 項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中,前 項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；
(9)有限等比數(shù)列中,奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系,由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項數(shù)為偶數(shù),則“偶數(shù)項和”＝“奇數(shù)項和”與“公比”的積；若總項數(shù)為奇數(shù),則“奇數(shù)項和”＝“首項”加上“公比”與“偶數(shù)項和”積的和.
（10）并非任何兩數(shù)總有等比中項. 僅當(dāng)實數(shù) 同號時,實數(shù) 存在等比中項.對同號兩實數(shù) 的等比中項不僅存在,而且有一對 .也就是說,兩實數(shù)要么沒有等比中項(非同號時),如果有,必有一對(同號時).在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時,常優(yōu)先考慮選用“中項關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.
(11)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法(也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式).
4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系
(1)如果數(shù)列 成等差數(shù)列,那么數(shù)列 ( 總有意義)必成等比數(shù)列.
(2)如果數(shù)列 成等比數(shù)列,那么數(shù)列 必成等差數(shù)列.
(3)如果數(shù)列 既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列 是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列 是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.
(4)如果兩等差數(shù)列有公共項,那么由他們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).
如果一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列有公共項順次組成新數(shù)列,那么常選用“由特殊到一般的方法”進行研討,且以其等比數(shù)列的項為主,探求等比數(shù)列中那些項是他們的公共項,并構(gòu)成新的數(shù)列.
注意：(1)公共項僅是公共的項,其項數(shù)不一定相同,即研究 .但也有少數(shù)問題中研究 ,這時既要求項相同,也要求項數(shù)相同.(2)三(四)個數(shù)成等差(比)的中項轉(zhuǎn)化和通項轉(zhuǎn)化法.
5.數(shù)列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式）,②等比數(shù)列求和公式（三種形式）,
③ , ,
, .
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和.
（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中,若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián),則常可考慮選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法）.
（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成,那么常選用錯位相減法,將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：一般錯位相減后,其中“新等比數(shù)列的項數(shù)是原數(shù)列的項數(shù)減一的差”!）（這也是等比數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法之一）.
（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
① , ② ,
③ ,
,
④,⑤ ,
⑥ ,
⑦ ,⑧ .
特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式,務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系,必要時分類討論.
（6）通項轉(zhuǎn)換法.
6.分期付款型應(yīng)用問題
(1)重視將這類應(yīng)用題與等差數(shù)列或等比數(shù)列相聯(lián)系.
(2)若應(yīng)用問題像“森林木材問題”那樣,既增長又砍伐,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
(3)“分期付款”、“森林木材”等問題的解決過程中,務(wù)必“卡手指”,細心計算“年限”作為相應(yīng)的“指數(shù)”. 
四、三角函數(shù)
1. 終邊與 終邊相同( 的終邊在 終邊所在射線上).
終邊與 終邊共線( 的終邊在 終邊所在直線上) .
終邊與 終邊關(guān)于 軸對稱.
終邊與 終邊關(guān)于 軸對稱.
終邊與 終邊關(guān)于原點對稱.
一般地： 終邊與 終邊關(guān)于角 的終邊對稱.
與 的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定.
2.弧長公式： ,扇形面積公式： ,1弧度(1rad) .
3.三角函數(shù)符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.
注意： ,
, .
4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在 軸上(起點在 軸上)”、余弦線“躺在 軸上(起點是原點)”、正切線“站在點 處(起點是 )”.務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點的坐標之間的關(guān)系,‘正弦’ ‘縱坐標’、‘余弦’ ‘橫坐標’、‘正切’ ‘縱坐標除以橫坐標之商’”；務(wù)必記?。簡挝粓A中角終邊的變化與 值的大小變化的關(guān)系. 為銳角.
5.三角函數(shù)同角關(guān)系中,平方關(guān)系的運用中,務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值,精確確定角的范圍,并進行定號”；
6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變,符號看象限.
7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)(常值)的變換,其核心是“角的變換”!
角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.
如 ,,
, 等.
常值變換主要指“1”的變換：
等.
三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化(切割化弦)、三角函數(shù)次數(shù)的降升(降次、升次)、運算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(和式與積式的互化). 解題時本著“三看”的基本原則來進行:“看角、看函數(shù)、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次.
注意：和(差)角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次(升次)公式中的符號特征.“正余弦‘三兄妹— ’的內(nèi)存聯(lián)系”(常和三角換元法聯(lián)系在一起
).
輔助角公式中輔助角的確定： (其中 角所在的象限由a, b的符號確定, 角的值由 確定)在求最值、化簡時起著重要作用.尤其是兩者系數(shù)絕對值之比為 的情形. 有實數(shù)解 .
8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：
(1)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性
注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對值對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來,某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方,其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值,其周期性不變；其他不定. 如 的周期都是 , 但的周期為 , y=|tanx|的周期不變,問函數(shù)y=cos|x|,,y=cos|x|是周期函數(shù)嗎?
(2)三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：
(3)三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.
(4)三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點法(五點橫坐標成等差數(shù)列)和變換法.
9.三角形中的三角函數(shù)：
(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為 ,任意兩角和與第三個角總互補,任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形 三內(nèi)角都是銳角 三內(nèi)角的余弦值為正值 任兩角和都是鈍角 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
(2)正弦定理： (R為三角形外接圓的半徑).
注意：已知三角形兩邊一對角,求解三角形時,若運用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解.
(3)余弦定理： 等,常選用余弦定理鑒定三角形的類型.
(4)面積公式： .
10.反三角函數(shù)：
(1)反正弦 、反余弦 、反正切 的取值范圍分別是 .
(2)異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、向量的夾角的范圍依次是 , .直線的傾斜角、 到 的角、 與 的夾角的范圍依次是 .
五、向量
1.向量運算的幾何形式和坐標形式,請注意：向量運算中向量起點、終點及其坐標的特征.
2.幾個概念：零向量、單位向量(與 共線的單位向量是 ,特別： )、平行(共線)向量(無傳遞性,是因為有 )、相等向量(有傳遞性)、相反向量、向量垂直、以及一個向量在另一向量方向上的投影（ 在 上的投影是 ).
3.兩非零向量平行(共線)的充要條件 .
兩個非零向量垂直的充要條件 .
特別：零向量和任何向量共線.是向量平行的充分不必要條件!
4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù) 、 ,使a= e1＋ e2.
5.三點 共線共線；
向量 中三終點 共線 存在實數(shù) 使得： 且 .
6.向量的數(shù)量積： , ,
,
.
注意： 為銳角且 不同向；
為直角且 ；
為鈍角且 不反向
是 為鈍角的必要非充分條件.
向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,這是題目中的天然條件,要注意運用；對于一個向量等式,可以移項,兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù),兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即 ,切記兩向量不能相除(相約).
7.
注意： 同向或有 ；
反向或有 ；
不共線.(這些和實數(shù)集中類似)
8.平移與定比分點
(1)線段的定比分點坐標公式
設(shè)P（x,y）、P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,且 ,則. , .
特別：分點的位置與 的對應(yīng)關(guān)系.
中點坐標公式 ,為 的中點.
中, 過 邊中點； ；
.
為 的重心；
特別 為 的重心.
為 的垂心；
所在直線過 的內(nèi)心(是 的角平分線所在直線)；
的內(nèi)心.
.
(2)平移公式：如果點P(x,y)按向量a＝(h,k)平移至 ,則 .
曲線 按向量a＝(h,k)平移得曲線 .
六、不等式
1.(1)解不等式是求不等式的解集,最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值.
(2)解分式不等式 的一般解題思路是什么?（移項通分,分子分母分解因式,x的系數(shù)變?yōu)檎?標根及奇穿過偶彈回）；
(3)含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值?(一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化)；
(4)解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化,必要時需分類討論.注意：按參數(shù)討論,最后按參數(shù)取值分別說明其解集,但若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集.
2. 利用重要不等式以及變式 等求函數(shù)的最值時,務(wù)必注意a,b （或a ,b非負）,且“等號成立”時的條件是積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值(一正二定三等四同時).
3.常用不等式有： (根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用) a、b、c R, （當(dāng)且僅當(dāng) 時,取等號）
4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法和放縮法(注意：對“整式、分式、絕對值不等式”的放縮途徑, “配方、函數(shù)單調(diào)性等”對放縮的影響).
5.含絕對值不等式的性質(zhì)：
同號或有 ；
異號或有 .
注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式?（常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題）.
七、直線和圓
1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義( 或 )及其直線方程的向量式( ( 為直線的方向向量)).應(yīng)用直線方程的點斜式、斜截式設(shè)直線方程時,一般可設(shè)直線的斜率為k,但你是否注意到直線垂直于x軸時,即斜率k不存在的情況?
2.知直線縱截距 ,常設(shè)其方程為 或 ；知直線橫截距 ,常設(shè)其方程為 (直線斜率k存在時, 為k的倒數(shù))或 .知直線過點 ,常設(shè)其方程為 或 .
注意：(1)直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式、向量式．以及各種形式的局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截矩式呢?）
與直線 平行的直線可表示為 ；
與直線 垂直的直線可表示為 ；
過點 與直線 平行的直線可表示為：
；
過點 與直線 垂直的直線可表示為：
.
(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等 直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù) 直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等 直線的斜率為 或直線過原點.
(3)在解析幾何中,研究兩條直線的位置關(guān)系時,有可能這兩條直線重合,而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.
3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小角,范圍是 ,而其到角是帶有方向的角,范圍是 .相應(yīng)的公式是：夾角公式 ,直線 到 角公式 .注：點到直線的距離公式 .
特別： ；
；
.
4.線性規(guī)劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目標函數(shù)、最優(yōu)解.
5.圓的方程：最簡方程 ；
標準方程 ；
一般式方程；
參數(shù)方程 為參數(shù))；
直徑式方程.
注意：(1)在圓的一般式方程中,圓心坐標和半徑分別是 .
(2)圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板,常用三角換元有：
,
,
,
.
6.解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路,等價轉(zhuǎn)化求解,重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形,切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)的作用!”
(1)過圓 上一點 圓的切線方程是： ,
過圓 上一點 圓的切線方程是：
,
過圓上一點 圓的切線方程是： .
如果點 在圓外,那么上述直線方程表示過點 兩切線上兩切點的“切點弦”方程.
如果點 在圓內(nèi),那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于 ( 為圓心)的直線方程, ( 為圓心 到直線的距離).
7.曲線 與 的交點坐標 方程組 的解；
過兩圓 、 交點的圓(公共弦)系為 ,當(dāng)且僅當(dāng)無平方項時, 為兩圓公共弦所在直線方程.
八、圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩個定義,及其“括號”內(nèi)的限制條件,在圓錐曲線問題中,如果涉及到其兩焦點(兩相異定點),那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點、準線(一定點和不過該點的一定直線)或離心率,那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點三角形的問題,也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.
(1)注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用；②圓錐曲線第二定義是：“點點距為分子、點線距為分母”,橢圓 點點距除以點線距商是小于1的正數(shù),雙曲線 點點距除以點線距商是大于1的正數(shù),拋物線 點點距除以點線距商是等于1.③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢.其中 ,橢圓中 、雙曲線中 .重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其‘頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關(guān)的幾何性質(zhì)’”,尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點.注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì).

3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中,有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路,等價轉(zhuǎn)化求解. 特別是：
①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解,當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時,務(wù)必“判別式≥0”,尤其是在應(yīng)用韋達定理解決問題時,必須先有“判別式≥0”.
②直線與拋物線(相交不一定交于兩點)、雙曲線位置關(guān)系(相交的四種情況)的特殊性,應(yīng)謹慎處理. 
③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中,常與“弦”相關(guān),“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度(弦長)”問題關(guān)鍵是長度(弦長)公式
( , ,
)或“小小直角三角形”.
④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”,那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.
4.要重視常見的尋求曲線方程的方法(待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等), 以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)(定義法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想等),這是解析幾何的兩類基本問題,也是解析幾何的基本出發(fā)點.
注意：①如果問題中涉及到平面向量知識,那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā),考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化,還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化.
②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念,尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.
③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中,常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.
九、直線、平面、簡單多面體
1.計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（補形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角,或建立空間坐標系轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角計算
( 、 、
、 、
,
.
特別： , ,
則-= .
,

2.計算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影,或向量法(直線上向量與平面法向量夾角的余角),三余弦公式(最小角定理, ),或先運用等積法求點到直線的距離,后虛擬直角三形求解.注：一斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩邊所成角相等 斜線在平面上射影為角的平分線.
3.計算二面角的大小主要有：定義法(先作其平面角后計算大小)、公式法( )、向量法(兩平面法向量的夾角)、等價轉(zhuǎn)換法等等.二面角平面角的主要作法有：定義法(取點、作垂、構(gòu)角)、三垂線法(兩垂一連,關(guān)鍵是第一垂(過二面角一個面內(nèi)一點,作另一個面的垂線))、垂面法.
4.計算空間距離的主要方法有：定義法(先作垂線段后計算)、等積法、轉(zhuǎn)換法(平行換點、換面)等.
5.空間平行垂直關(guān)系的證明,主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進行,模式是：
線線關(guān)系 線面關(guān)系 面面關(guān)系,請重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系(三垂線定理及其逆定理)的橋梁作用.注意：書寫證明過程需規(guī)范.
特別聲明：①證明計算過程中,若有“中點”等特殊點線,則常借助于“中位線、重心”等知識轉(zhuǎn)化.
②在證明計算過程中常將運用轉(zhuǎn)化思想,將具體問題轉(zhuǎn)化 (構(gòu)造) 為特殊幾何體(如三棱錐、正方體、長方體、三棱柱、四棱柱等)中問題,并獲得去解決.
③如果根據(jù)已知條件,在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”,那么往往以此為基礎(chǔ),建立空間直角坐標系,并運用空間向量解決問題.
6.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對角面、平行于底的截面的幾何體性質(zhì).
如長方體中：對角線長 ,棱長總和為 ,全(表)面積為 ,(結(jié)合 可得關(guān)于他們的等量關(guān)系,結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式), ；
如三棱錐中：側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等) 頂點在底上射影為底面外心,側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直) 頂點在底上射影為底面垂心,斜高長相等(側(cè)面與底面所成相等)且頂點在底上在底面內(nèi) 頂點在底上射影為底面內(nèi)心.
如正四面體和正方體中：