已知△ABC中,AD,BE,CF分別是∠A,∠B,∠C的平分線.
求證：AD,BE,CF交于一點
證明：設(shè)AD與BE交于點P,則要證CF過點P,也就是要證CP平分∠C,用向量知識分析,即要證存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)
為簡便起見,設(shè)|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.
∵AP平分∠A,BP平分∠B
∴存在λ1,λ2,使得
向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)
∵向量AB+向量BP=向量AP
∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)
即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC
由平面向量基本定理,有：
1-λ2/c=λ1/c+λ1/b
λ2/a=λ1/b
消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)
于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
∴向量CP=向量CA+向量AP