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  • 去冬今春,濟(jì)寧市遭遇了200年不遇的大旱,某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題,要在某河道建一座水泵站,分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水.經(jīng)實(shí)地勘查后,工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí),以河道上的大

    去冬今春,濟(jì)寧市遭遇了200年不遇的大旱,某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題,要在某河道建一座水泵站,分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水.經(jīng)實(shí)地勘查后,工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí),以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn),以河道所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖).兩村的坐標(biāo)分別為A(2,3),B(12,7).

    (1)若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮,水泵站建在距離大橋多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短?
    (2)水泵站建在距離大橋多遠(yuǎn)的地方,可使它到張村、李村的距離相等?
    數(shù)學(xué)人氣:343 ℃時(shí)間:2020-02-05 18:55:22
    優(yōu)質(zhì)解答
    (1)作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E,連接AE,則點(diǎn)E為(12,-7)
    設(shè)直線AE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),則
    2k+b=3
    12k+b=-7

    解得
    k=-1
    b=5
    ,
    當(dāng)y=0時(shí),x=5.
    所以,水泵站建在距離大橋5千米的地方,可使所用輸水管道最短.
    (2)作線段AB的垂直平分線GF,交AB于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G
    設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x,0)
    在Rt△AGD中,AG2=AD2+DG2=32+(x-2)2
    在Rt△BCG中,BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2
    ∵AG=BG,
    ∴32+(x-2)2=72+(12-x)2
    解得x=9.
    所以,水泵站建在距離大橋9千米的地方,可使它到張村、李村的距離相等.
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