高 中 數(shù)學(xué) 必 修 2知識(shí)點(diǎn)
第一章 空間幾何體
1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖
1 三視圖：
正視圖：從前往后
側(cè)視圖：從左往右
俯視圖：從上往下
2 畫三視圖的原則：
長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等
3直觀圖：斜二測(cè)畫法
4斜二測(cè)畫法的步驟：
（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；
（2）.平行于y軸的線長(zhǎng)度變半,平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變；
（3）.畫法要寫好.
5 用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖
1.3 空間幾何體的表面積與體積
（一 ）空間幾何體的表面積
1棱柱、棱錐的表面積： 各個(gè)面面積之和
2 圓柱的表面積
3 圓錐的表面積
4 圓臺(tái)的表面積
5 球的表面積
（二）空間幾何體的體積
1柱體的體積
2錐體的體積
3臺(tái)體的體積
4球體的體積
第二章 直線與平面的位置關(guān)系
2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.1.1
1 平面含義：平面是無(wú)限延展的
2 平面的畫法及表示
（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,銳角畫成450,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）
（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示,如平面AC、平面ABCD等.
3三個(gè)公理：
（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)
符號(hào)表示為
A∈L
B∈L=> L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)
（2）公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.
符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α.
公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù).
（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.
符號(hào)表示為：P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L
公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)
2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：
相交直線：同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
平行直線：同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)；
異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).
2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線
a∥b
c∥b
強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性,在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用.
公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù).
3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
4 注意點(diǎn)：
① a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定,與O的選擇無(wú)關(guān),為了簡(jiǎn)便,點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；
② 兩條異面直線所成的角θ∈(0,)；
③ 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí),我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直,記作a⊥b；
④ 兩條直線互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形；
⑤ 計(jì)算中,通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角.
2.1.3 — 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系
1、直線與平面有三種位置關(guān)系：
（1）直線在平面內(nèi) —— 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
（3）直線在平面平行 —— 沒(méi)有公共點(diǎn)
指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外,可用aα來(lái)表示

a αa∩α=A a∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
2.2.1 直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.
簡(jiǎn)記為：線線平行,則線面平行.
符號(hào)表示：
aα
bβ=> a∥α
a∥b
2.2.2 平面與平面平行的判定
1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.
符號(hào)表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種：
（1）用定義；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.
2.2.3 — 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)
1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.
簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行.
符號(hào)表示：
a∥α
aβa∥b
α∩β= b
作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題.
2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行.
符號(hào)表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
2.3.1直線與平面垂直的判定
1、定義
如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線L與平面α互相垂直,記作L⊥α,直線L叫做平面α的垂線,平面α叫做直線L的垂面.如圖,直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足.
L

p
α
2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.
注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；
b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
2.3.2平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形
A
梭 lβ
B
　　α
2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.
2.3.3 — 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)
1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
2性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
\x09
第三章直線與方程
3.1直線的傾斜角和斜率
3.1傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí), 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), 規(guī)定α= 0°.
2、 傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), α= 90°.
3、直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是
k = tanα
⑴當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), α=0°, k = tan0°=0;
⑵當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直線的斜率公式:
給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線P1P2的斜率：
斜率公式:
3.1.2兩條直線的平行與垂直
1、兩條直線都有斜率而且不重合,如果它們平行,那么它們的斜率相等；反之,如果它們的斜率相等,那么它們平行,即
注意: 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少這個(gè)前提,結(jié)論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、兩條直線都有斜率,如果它們互相垂直,那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之,如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù),那么它們互相垂直,即

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程
1、直線的點(diǎn)斜式方程：直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,且斜率為

2、、直線的斜截式方程：已知直線 的斜率為 ,且與 軸的交點(diǎn)為

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程
1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn) 其中

2、直線的截距式方程：已知直線 與 軸的交點(diǎn)為A ,與 軸的交點(diǎn)為B ,其中
3.2.3直線的一般式方程
1、直線的一般式方程：關(guān)于 的二元一次方程 （A,B不同時(shí)為0）
2、各種直線方程之間的互化.
3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
解方程組

得 x=-2,y=2
所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2,2）
3.3.2\x09兩點(diǎn)間距離
兩點(diǎn)間的距離公式

3.3.3\x09點(diǎn)到直線的距離公式
1．點(diǎn)到直線距離公式：
點(diǎn) 到直線 的距離為：
2、兩平行線間的距離公式：
已知兩條平行線直線 和 的一般式方程為 ： ,
： ,則 與 的距離為
第四章\x09圓與方程
4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程
2、點(diǎn) 與圓 的關(guān)系的判斷方法：
（1） > ,點(diǎn)在圓外
（2） = ,點(diǎn)在圓上
（3） < ,點(diǎn)在圓內(nèi)
4.1.2圓的一般方程
1、圓的一般方程：
2、圓的一般方程的特點(diǎn)：
(1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0．
?、跊](méi)有xy這樣的二次項(xiàng)．
(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了．
(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯.
4.2.1 圓與圓的位置關(guān)系
1、用點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系．
設(shè)直線 ： ,圓 ： ,圓的半徑為 ,圓心 到直線的距離為 ,則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：
（1）當(dāng) 時(shí),直線 與圓 相離；
（2）當(dāng) 時(shí),直線 與圓 相切；
（3）當(dāng) 時(shí),直線 與圓 相交；
4.2.2圓與圓的位置關(guān)系
兩圓的位置關(guān)系．
設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為 ,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：
（1）當(dāng) 時(shí),圓 與圓 相離；
（2）當(dāng) 時(shí),圓 與圓 外切；
（3）當(dāng)時(shí),圓 與圓 相交；
（4）當(dāng) 時(shí),圓 與圓 內(nèi)切；
（5）當(dāng) 時(shí),圓 與圓 內(nèi)含；
4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用
1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；
2、過(guò)程與方法
用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：
第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；
第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問(wèn)題；
第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．
4.3.1空間直角坐標(biāo)系

1、點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組 , 、 、 分別是P、Q、R在 、 、 軸上的坐標(biāo)
2、有序?qū)崝?shù)組 ,對(duì)應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)
3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組 來(lái)表示,該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記M , 叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo), 叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo), 叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).
4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式
1、空間中任意一點(diǎn) 到點(diǎn) 之間的距離公式