在方程變形時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根,這種根叫做原方程的增根.
如果一個分式方程的根能使此方程的公分母為零,那么這個根就是原方程的增根.
增根的產(chǎn)生的原因：
對于分式方程,當(dāng)分式中,分母的值為零時,無意義,所以分式方程,不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值,即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后,這種限制取消了,換言之,方程中未知數(shù)的值范圍擴大了,如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值,那么就會出現(xiàn)增根.
分式方程兩邊都乘以最簡公分母化分式方程為整式方程,這時未知數(shù)的允許值擴大,因此解分式方程容易發(fā)生増根.
例如:設(shè)方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 變形得來的,如果這兩個方程的根完全相同(包括重數(shù)),那么稱這兩個方程等價.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,稱 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,稱x=b 是方程B(x)=0 的失根.